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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 5.Exercícios Teóricos - Ex. 23

Calcule a função taxa de risco de uma variável aleatória de Weibull e mostre que ela é crescente quando β ≥ 1 e decrescente quando β ≤ 1 .

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para resolvermos, primeiro vamos destacar aqui a função de risco que usaremos:

λ t = f t F - t

Além disso, nós também conhecemos a densidade e distribuição de gama:

f t = β α t - v α β - 1 e - t - v α β

F - t t = 1 - F t = e - t - v α β

Se a gente substituir na primeira fórmula:

λ t = β α t - v α β - 1 e - t - v α β e - t - v α β = β α t - v α β - 1

E pelos valores, o que podemos concluir?

β ≥ 1 →   λ t ≥ 0

β ≤ 1 →   λ t ≤ 0

Passo 2

Aqui, vamos começar dizendo que λ = x = 1 é constante. Então, para α = 1 ,

λ X t = x α - 1 e - x λ λ α Γ α 1 - F α , x λ

λ X t = 1 1 - 1 e - 1 1 1 1 Γ ( 1 ) 1 - F 1 , 1 1 = 1 0 e - 1 Γ 1 - F 1 , 1

λ X t = e - 1 1 - F 1,1

Pela tabela de Gamma, vamos ver que F 1,1 = 0 , então:

λ X t = e - 1 = 0,3679

Passo 3

Show, agora vamos calcular para α = 2 :

λ X t = x α - 1 e - x λ λ α Γ α 1 - F α , x λ

λ X t = 1 2 - 1 e - 1 1 1 2 Γ ( 2 ) 1 - F 2 , 1 1 = e - 1 Γ ( 2 ) 1 - F 2 , 1

Pela tabela de Gamma, vamos ver que F 2 , 1 = 0 , 001 ; então:

λ X t = e - 1 2 Γ ( 1 - 0,001 ) = 0,3682

Beleza, vamos aproveitar e calcular para α = 3 :

λ X t = x α - 1 e - x λ λ α Γ α 1 - F α , x λ

λ X t = 1 3 - 1 e - 1 1 1 3 Γ 3 1 - F 3 , 1 1 = e - 1 3 Γ 1 - F 3 , 1

Pela tabela de Gamma, vamos ver que F 3 , 1 = 0 , 632 ; então:

λ X t = e - 1 3 Γ ( 1 - 0 , 632 ) = 0,4998

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)