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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 2

Carros atravessam certo ponto em uma rodovia de acordo com um processo de Poisson com a taxa λ = 3 por minuto. Se Paulo atravessa a rodovia sem olhar para os lados, qual é a probabilidade de que ele não seja atropelado se o tempo necessário para que ele atravesse a rodovia seja s segundos? (Suponha que ele será atropelado se estiver na rodovia quando um carro passar.) Faça este exercício para s = 2 ,   5 ,   10 ,   20 .

Passo 1

Opa... beleza?? Este problema é a aplicação direta do Teorema 1.1 onde o n é o número de carros que atravessarão o ponto da rodovia em um certo tempo s. Como a taxa e o tempo estão em unidades diferentes, então devemos usar o Sistema Internacional (S.I.) das unidades para resolver este problema. Decidindo colocar a taxa no S.I. teremos,

λ = 3 1   m i n = 3 60   s = 1 20   s

Como queremos para que ele não seja atropelado, então iremos tentar encontrar as probabilidades de N s = 0 em cada um dos s . Bora resolver cada um dos casos??

Passo 2

  1. s = 2

    2. P N s = n = ϵ - λ s ( λ s ) n n !

    P N 2 = 0 = ϵ - 1 20 ∙ 2 1 20 ∙ 2 0 0 !

    P N 2 = 0 = ϵ - 1 10

    P N 2 = 0 = 0,9048

  2. s = 5

    3. P N 5 = 0 = ϵ - 1 20 ∙ 5 1 20 ∙ 5 0 0 !

    P N 5 = 0 = ϵ - 1 4

    P N 5 = 0 = 0,7788

  3. s = 10

    4. P N 10 = 0 = ϵ - 1 20 ∙ 10 1 20 ∙ 10 0 0 !

    P N 10 = 0 = ϵ - 1 2

    P N 10 = 0 = 0,6065

  4. s = 20

P N 20 = 0 = ϵ - 1 20 ∙ 20 1 20 ∙ 20 0 0 !

P N 20 = 0 = ϵ - 1

P N 20 = 0 = 0,3679

Resposta

  1. P N 2 = 0 = 0,9048

  2. P N 5 = 0 = 0,7788

  3. P N 10 = 0 = 0,6065

  4. P N 20 = 0 = 0,3679