Certa região é habitada por r tipos distintos de certa espécie de inseto. Cada inseto capturado será, independentemente dos tipos capturados anteriormente, do tipo i com probabilidade

  P i , i = 1 ,   . . . ,   r     ∑ 1 r P i =   1  

a) Calcule o número médio de insetos capturados antes da captura de um inseto do tipo 1.

b) Calcule o número médio de tipos de insetos que são capturados antes da captura de um inseto do tipo i.

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

No item (a):

Defina a variável aleatória X que conta o número de insetos capturados antes da primeira captura do tipo 1. Devido à natureza deste problema, temos que X possui distribuição geométrica com parâmetro de sucesso p 1 .   E n t ã o ,   p a r a   k ∈ b N 0 , temos que:

P X = k = 1 - p 1 k ⋅   p 1

Portanto, a média é igual a:

E ( X ) = 1 - p 1 p 1  

Passo 2

No item (b):

Defina variáveis ​​aleatórias indicadoras I j ,   j = 2 ,   … ,   n que marcam se pegamos inseto do tipo j antes de algum inseto do tipo i. Devido à simetria deste problema, temos que:

P ( I j = 1 ) = p j p j + p 1

Assim, o número esperado de tipos de insetos que foram capturados antes do inseto do tipo 1 é de:

∑ j = 2 n P ( I j = 1 ) = ∑ j = 2 n p j ( p j + p 1 )

Resposta

Veja solução.