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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios Teóricos - Ex. 34

De um conjunto de n elementos, escolhe-se aleatoriamente um subconjunto não nulo (cada um dos subconjuntos não nulos tem a mesma probabilidade de ser escolhido). Seja X o número de elementos do subconjunto escolhido. Usando as identidades dadas no Exercício Teórico 1.12, mostre que

E X = n 2 - 1 2 n - 1

V a r X = n × 2 2 n - 2 - n ( n + 1 ) 2 n - 2 ( 2 n - 1 ) 2

Mostre também que, para n grande,

V a r ( X ) ∽ n 4

Seguindo o raciocínio de que a razão entre V a r ( X ) e n 4 tende a 1 à medida que n tende a infinito. Compare esta fórmula com a forma limtie de V a r ( Y ) quando P Y = i = 1 n   ,   i = 1 , … , n .

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para mostrarmos, vamos começar destacando aqui:

P X = 1 = n 2 n - 1 = C n i 2 n - 1

De modo similar, podemos dizer que:

P X = i = C n i 2 n - 1

Beleza, além disso nós vamos usar a fórmula:

E X = ∑ i = 1 n P X = i × i

E X = ∑ i = 1 n C n i 2 n - 1 × i = 1 2 n - 1 ∑ i = 1 n i   C n i

Além disso, precisamos lembrar que:

∑ i = 1 n i   C n i = n ( 2 ) n - 1

Substituindo na fórmula:

E X = 1 2 n - 1 n ( 2 ) n - 1

E X = n 2 - 1 2 n - 1

Passo 2

Show, agora vamos para a segunda parte. Vimos no Passo 1 que:

E X = n 2 - 1 2 n - 1

De modo similar, vamos achar que E X ² é:

E X ² = n ( n + 1 ) ( 2 ) n - 2 2 n - 1

E por que precisamos disso? Para jogar na fórmula:

V a r X = E X ² - E X ²

V a r X = - n 2 ( 2 ) 2 n - 2 2 n - 1 2 + n ( n + 1 ) ( 2 ) n - 2 2 n - 1

Aplicando o MMC na subtração e isolar os termos em comum:

V a r X = 1 2 n - 1 2 n ( 2 ) 2 n - 2 - n 2 n - 2 ( n + 1 )

V a r X = n × 2 2 n - 2 - n ( n + 1 ) 2 n - 2 ( 2 n - 1 ) 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)