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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas de Autoteste e Exercícios - Ex. 6

Considere os eventos A 1 , … ,   A n e suponha que N represente o número de eventos que ocorrem. Além disso, considere I = 1 se todos esses eventos ocorrerem e I = 0 caso contrário. Prova a desigualdade de Bonferroni, isto é,

P A 1 … A n ≥ ∑ i = 1 n P A i - ( n - 1 )

Dica: Mostre primeiro que N ≤ n - 1 + I

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos primeiro considerar que N representa o número de eventos A 1 , A 2 , … ,   A n que ocorre, e vamos também deixar uma variável I como uma indicadora, com isso, nós temos que

I = 1 ,     s e   A 1 A 2 … A n   o c o r r e 0 ,     s e   A 1 , A 2 , … A n   n ã o   o c o r r e

Com isso, se as variáveis indicadoras I j ,     j = 1,2 ,   … , n podem ser definidas como

I j = 1 ,     s e   A j   o c o r r e 0 ,       s e   A j   n ã o   o c o r r e

Portanto,

N =   ∑ j = 1 n I j

Obviamente, se todos os eventos ocorrem, temos a seguinte configuração

N = n   e   I = 1

E nesse caso, a variável N pode ser representada como

N = n - 1 + 1 = n - 1 + I

Caso os eventos não ocorram, temos que

N < n   e   I = 0

E nesse caso

N ≤ n - 1 + 0 = n - 1 + I

Portanto

N ≤ n - 1 + I

Passo 2

Agora, vamos provar a desigualdade de Bonferroni, e advinha qual caminho temos que ir? Isso mesmo, indução matemática, então vamos lá!

O primeiro caso é de n = 1 , o que é algo meio que trivial, mas temos que fazer, então

P A 1 = P A 1

O segundo caso é n = 2 , portanto

1 ≥ P A 1 ∪ A 2 = P A 1 + P A 2 - P A 1 A 2

Nós temos que

P A 1 A 2 ≥ P A 1 + P A 2 - 1

Como isso não afeta a desigualdade, podemos inferir que é verdadeiro. Como um passo indutivo, nós assumimos que os eventos A 1 , A 2 , … , A n tem essa característica

P A 1 … A n ≥ ∑ i = 1 n P A i - n - 1

Agora, nós vamos provar que a declaração desejada vale para n + 1 , então, considerando os eventos A 1 , A 2 ,   … ,   A n , A n + 1 , temos que

A 1 , A 2 , … ,   A n - 1 ,   A n ∩ A n + 1

Isso equivale a uma “lista” de eventos, nesse caso, nós vamos aplicar a indução para esse caso

P A 1 A 2 … A n A n + 1 = P A 1 ∩ … A n - 1 ∩ A n ∩ A n + 1 = P A 1 A 2 … A n - 1 A n ∩ A n + 1

Isso tudo é igual ou maior que

P A 1 + … + P A n - 1 + P A n ∩ A n + 1 - ( n - 1 )

Passo 3

Entretanto, como a afirmação é verdadeira para n = 2 , nós temos que

P A n ∩ A n + 1 ≥ P A n + P A n + 1 - 1

E portanto, das condições acima, nós podemos concluir que

P A 1 A 2 … A n A n + 1 ≥ P A 1 + … + P A n - 1 + P A n + P A n + 1 - 1 - ( n - 1 )

E finalmente

P A 1 + … + P A n - 1 + P A n + P A n + 1 - n =   P A 1 + … + P A n - 1 + P A n + P A n + 1 - ( n + 1 - 1 )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)