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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 17

Considere a fdp de X = peso de tração real fornecido no Exercício 6

a. Determine X .b. Determine μ ˜ pelo gráfico de f ( x ) .c. Calcule E ( X ) e V ( X ) .

Passo 1

Determine X .

A. P a r a   2 ≤ X ≤ 4 , F ( X ) = ∫ x . f ( y ) d y = ∫ 2 x   3 4 1 - ( y - 3 ) 2 d y (   u = y - 3 )

= ∫ - 1 x - 3   3 4 1 - u 2 d u = 3 4 u - u 3 3 - 1 x - 3 = 3 4 x - 7 3 - ( x - 3 ) 3 3 . Então,

F ( x ) = { 0   x < 2   1 4 3 x - 7 - ( x - 3 ) 3   2 ≤ x ≤ 4   1   x > 4  

Passo 2

Determine μ ˜ pelo gráfico de f ( x ) .

b- por simetria de   f ( x ) , μ ~ = 3

Passo 3

Calcule E ( X ) e V ( X )

c. E ( X ) = ∫ 2 4   x ⋅ 3 4 1 - ( x - 3 ) 2 d x = 3 4 ∫ - 1 1   ( y + 3 ) 1 - y 2 d x

= 3 4 3 y + y 2 2 - y 3 - y 4 4 - 1 1 = 3 4 ⋅ 4 = 3

V ( X ) = ∫ - ∞ ∞   ( x - μ ) 2 f ( x ) d x = 3 4 ∫ 2 4   ( x - 3 ) 2 ⋅ 1 - ( x - 3 ) 2 d x

= 3 4 ∫ - 1 1   y 2 1 - y 2 d y = 3 4 ⋅ 4 15 = 1 5 = 2

Resposta

a . F ( x ) = { 0   x < 2   1 4 3 x - 7 - ( x - 3 ) 3   2 ≤ x ≤ 4   1   x > 4  

b.3

c. 2