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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 20

Considere a fdp do tempo total de espera Y para dois ônibus

f ( y ) = { 1 25 y   0 ≤ y < 5   2 5 - 1 25 y   5 ≤ y ≤ 10   0     c a s o   c o n t r á r i o    

apresentado no Exercício 8 .

a. Calcule e desenhe a fdc de Y . [Sugestão: considere separadamente 0 ≤ y < 5 e 5 ≤ y ≤ 10 ao calcular F ( y ) . Um gráfico da fdp pode ser útil].

b. Determine uma expressão para o ( 100 p ) -ésimo percentil. (Sugestāo: considere separadamente 0 < p < 0,5 e 0,5 < p < 1 .)

c. Calcule E ( Y ) e V ( Y ) . Como elas se comparam ao tempo de espera estimado e à variância de um único ônibus quando o tempo tem distribuição uniforme no intervalo [0,5] ?

Passo 1

a. P a r a   0 ≤ y ≤ 5 , F ( y ) = ∫ 0 y   1 25 u d u = y 2 50

P a r a   5 ≤ y ≤ 10 , F ( y ) = ∫ 0 y   f ( u ) d u = ∫ 0 5   f ( u ) d u + ∫ 5 y   f ( u ) d u

= 1 2 + ∫ 0 y   2 5 - u 25 d u = 2 5 y - y 2 50 - 1

Passo 2

b. P a r a   0 < p ≤ . 5 , p = F y r = y p 2 50 ⇒ y p = ( 50 p ) 1 / 2

P a r a   . 5 < p ≤ 1 , p = 2 5 y p - y p 2 50 - 1 ⇒ y p = 10 - 5 2 ( 1 - p )

Passo 3

c. E(Y)=5 por integração direta (ou por simetria de f(y)), e similarmente V(Y)= 50 12 = 4.1667

Para o tempo de espera X para um único ônibus,

E ( X ) = 2.5   a n d   V ( X ) = 25 12

Resposta

a . 1 2 + ∫ 0 y   2 5 - u 25 d u = 2 5 y - y 2 50 - 1

b. y p = 10 - 5 2 ( 1 - p )

c. 25 12