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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 11

Considere n jogadas independentes de uma moeda com probabilidade p de dar cara. Digamos que uma inversão ocorra sempre que um resultado difira daquele que o precede. Por exemplo, se n = 5 e o resultado é H H T H T (sendo H cara e T coroa), então há 3 inversões. Determine o valor esperado de inversões.

Dica: Expresse o número de inversões como a soma de n - 1 variáveis aleatórias de Bernoulli.

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Defina as variáveis ​​aleatórias indicadoras I j que marcam se houve uma mudança entre j t h e j + 1 s t   v i r a r ,   j = 1 ,   … ,   n - 1 . Observe que I j = 1 se e somente se temos Cara em j º lançamento e coroa em ( j + 1 ) º lançamento ou se temos Coroa em j º lançamento e cara em ( j + 1 ) ª jogada.

Então, temos isso:

P ( I j = 1 ) = 2   p ( 1 - p )

Defina X como o número total de trocas. Temos que X = ∑ j = 1 n - 1 I j e usando a linearidade da expectativa, temos que:

E X = ∑ j E I j = ∑ j P I j = 1 = n - 1 ⋅ 2 p   ( 1 - p )

Resposta

O número esperado de trocas é de n - 1 ⋅ 2 p   ( 1 - p ) .