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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios Teóricos - Ex. 19

Considere o problema da ruína do jogador, com a exceção de que A e B concordem a jogar no máximo n partidas. Seja P n , i a probabilidade de que A termine com todo o dinheiro quando A começar com i e B começar com N - i. Deduza uma equação para P n , i em termos de P n - 1 , i + 1 e P n - 1 , i - 1 , e calcule P 7,3 , N = 5.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A relação recursiva é descrita como

P n , i = 0 ,     i = 0   o u   n < N - i 1 ,     i = N p P n - 1 , i + 1 + q P n - 1 , i - 1 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Onde p é a probabilidade que A vença um round, e q = 1 - p

Passo 2

Calculando P 7.3 com N = 5 , com isso, nós temos que

P 7,3 = p P 6,4 + q P 6,2

Substituindo os valores, nós obtemos o seguinte resultado

P 7,3 = p 2 + p q P 5,3 + p q P 5,3 + q 2 P 5.1

Agora, vamos trabalhar de forma recursiva, como um trabalho mais braçal

P 7,3 = p 2 + 2 p 2 q P 4,4 + 2 p q 2 P 4,2 + p q 2 P 4,2

Vai “descendo” as probabilidades até o seguinte caso

P 7.3 = p 2 + 2 p 3 q + 5 p 4 q 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)