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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 22

A demanda semanal de gás propano (em milhares de galões) de uma instalação é uma va X com fdp

f ( x ) = { 2 1 - 1 x 2   1 ≤ x ≤ 2   0     c a s o   c o n t r á r i o    

a. Calcule a fdc de X b. Determine uma expressão para o ( 100 p ) -ésimo percentil. Qual é o valor de μ ?c. Calcule E ( X ) e V ( X ) .d. Se 1,5 mil galões estão em estoque no começo da semana e nenhuma entrega está programada para a semana, quanto desse volume se espera ter no fim da semana? Sugestão: seja h ( x ) = quantidade restante quando a demanda = x .

Passo 1

Calcule a fdc de X .

a. P a r a   1 ≤ x ≤ 2 , F ( x ) = ∫ 1 x   2 1 - 1 y 2 d y = 2 y + 1 y ] 1 x = 2 x + 1 x - 4 ,   e n t ã o

F ( x ) = { 0   x < 1   2 x + 1 x - 4   1 ≤ x ≤ 2   1   x > 2  

Passo 2

b. Determine uma expressão para o ( 100 p ) -ésimo percentil. Qual é o valor de μ 2 x p + 1 x p - 4 = p ⇒ 2 x p 2 - ( 4 - p ) x p + 2 = 0 ⇒ x p = 1 4 4 + p + p 2 + 8 p   p a r a   e n c o n t r a r μ ~ , d e i x e ⁡ p = 5 ⇒ μ ~ = 1.64

Passo 3

c.Calcule E ( X ) e V ( X )

E ( X ) = ∫ 1 2   x + 2 1 - 1 x 2 d x = 2 ∫ 1 2   x - 1 x d x = 2 x 2 2 - l n ⁡ ( x ) ] 1 2 = 1.614

E X 2 = 2 ∫ 1 2   x 2 - 1 d x = 2 x 3 3 - x ] 1 2 = 8 3 ⇒ V a r ⁡ ( X ) = 0626

Passo 4

Se 1,5 mil galões estão em estoque no começo da semana e nenhuma entrega está programada para a semana, quanto desse volume se espera ter no fim da semana? Sugestão: seja h ( x ) = quantidade restante quando a demanda = x

d. quantidade restante m a x ( 1.5 - X , 0 ) , então

E ( q u a n t i d a d e   r e s t a n t e )   = ∫ 1 2   m a x ( 1.5 - x , 0 ) f ( x ) d x = 2 ∫ 1 1.5   ( 1.5 - x ) 1 - 1 x 2 d x = 061

Resposta

a. F ( x ) = { 0   x < 1   2 x + 1 x - 4   1 ≤ x ≤ 2   1   x > 2  

b. 1.64

c. 0626

d. 061