Demonstre a desigualdade de Boole:

Prova da Igualdade:

Se os são disjuntos para , então pelo temos,

Prova da desigualdade:

Agora vamos supor que existe pelo menos para alguns . Se são só dois conjuntos, sabemos pela que

Logo, o lado esquerdo terá todas as somas das parcelas que o lado direito tem, menos a probabilidade da interseção dos dois conjuntos não disjuntos. E se agora existe mais de que dois conjuntos cujas interseções dois a dois não é vazia, então pela , chegaremos a mesma conclusão que chegamos no caso de existir só dois conjuntos não disjuntos. Isto prova a nossa demonstração.