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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios Teóricos - Ex. 26

Demonstre que

sum_(i = 0)^n e^(- lambda) ((lambda)^i)/(i !) = (1)/(n !) int_(lambda)^(oo) e^(- x) x^n d x

Dica: Use integração por partes.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para provarmos o que é dado no enunciado, vamos pegar a segunda parte da igualdade:

(1)/(n !) int_(lambda)^(oo) e^(- x) x^n d x = (1)/(n !) [- x^n e^(- x)]_(lambda)^(oo) - (1)/(n !) int_(lambda)^(oo) n x^(n - 1) e^(- x) d x

Se a gente abri a integral várias vezes, nós vamos chegar a um valor assim:

(1)/(n !) int_(lambda)^(oo) e^(- x) x^n d x = e^(- lambda) [((lambda)^n)/(n !) + ((lambda)^(n - 1))/(( n - 1 ) !) + ((lambda)^(n - 2))/(( n - 2 ) !) + ... + 1]

Logo:

(1)/(n !) int_(lambda)^(oo) e^(- x) x^n d x = sum_(i = 0)^n e^(- lambda) ((lambda)^i)/(i !)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)