Enunciado

Demonstre que

∑ i = 0 n e - λ λ i i ! = 1 n ! ∫ λ ∞ e - x x n d x

Dica: Use integração por partes.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para provarmos o que é dado no enunciado, vamos pegar a segunda parte da igualdade:

1 n ! ∫ λ ∞ e - x x n d x = 1 n ! - x n e - x λ ∞ - 1 n ! ∫ λ ∞ n x n - 1 e - x d x

Se a gente abri a integral várias vezes, nós vamos chegar a um valor assim:

1 n ! ∫ λ ∞ e - x x n d x = e - λ λ n n ! + λ n - 1 ( n - 1 ) ! + λ n - 2 ( n - 2 ) ! + … + 1

Logo:

1 n ! ∫ λ ∞ e - x x n d x = ∑ i = 0 n e - λ λ i i !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)