Em um determinado teste de hipótese, a probabilidade α de um erro tipo I é fixa, enquanto a probabilidade β de um erro tipo II depende do valor particular de μ usado como alternativa da hipótese nula. Para testes de hipótese do tipo encontrado nesta seção, podemos achar β como segue:

Passo 1: Determinar o(s) valo(es) de x que corresponde(m) ao(s) valor(es) crítico(s) em

Z =     x - - μ x - σ x -

para substituir Z pelo(s) valor(es) crítico(s), introduzir os valores de μ x - e σ x - , e resolver em relação a x - .

Passo 2: Dado um valor particular de μ que seja uma alternativa da hipótese nula H 0 , traçar a curva normal com este novo valor de μ no centro. Marcar também o(s) valor(es) de x - achado(s) no Passo 1.

Passo 3: Recorrer ao gráfico do Passo 2 e achar a área da nova região crítica delimitada por x - . Esta é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando o novo valor de μ é correto.

Passo 4: O valor de β é 1 menos a área do Passo 3. Esta é a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula, quando o novo valor de μ é correto.

As etapas precedentes permitem-nos achar a probabilidade de não rejeitar H 0 quando ela é falsa. Estamos determinando a área sob a curva que exclui a região crítica em que rejeitamos H 0 : esta área corresponde a não rejeitarmos uma H 0 falsa porque usamos um valor particular de μ que vai contra H 0 . Para o exemplo das temperaturas do corpo humano discutido nesta seção, determine o valor de β correspondente a:

a. μ = 98,7

b. μ = 98 , 4 .

Passo 1

Tudo certo, pessoal? A gente vai fazer agora um exercício que explora um caminho diferente de olhar os testes e hipótese, mas não é nada que não vamos conseguir fazer! Vamos ter que usar uma tabela de distribuição normal de novo! Trouxe aqui uma imagem dela pra vocês!

Também vamos precisar usar a fórmula do Z para um Teste de Hipóteses para média (com s 2 conhecido ou n > 30 ):

Z =     x - - μ s / n

Primeiro, vamos determinar os valores iniciais do problema. Os dados do exemplo das temperaturas do corpo humano são: n = 106 , s = 0,62 , α = 0,05 e μ = 98 , 6 o F .

Percebemos que, para α = 0,05 , o valor crítico teria que partir de α * = 0,05 , ou seja, de um valore da tabela de:

0,5 - α * = 0,5 - 0,05 = 0,45

Dessa forma, o valor crítico de Z é: Z = 1,645 . Logo, seguindo o passo 1 do enunciado:

Z =     x - - μ x - σ x - → 1,645 =   x - - 98,6 0,62 / 106 → x - = 98 , 7

Show, temos o valor crítico de x - agora!

Passo 2

Belezinha! Agora vamos ao segundo passo: criar uma curva normal com o valor de μ no centro. Aqui criaremos um gráfico para a letra A do problema (esquerda) e outro para a letra B (direita). Em seguida, realizaremos o passo 3, demarcando a área da região crítica delimitada por x - em cada caso. Assim, ficamos com:

Show! Já temos os dois gráficos que precisávamos! Próximo passo!

Passo 3

Tá quase! Agora, vamos seguir o quarto e último passo para chegar nas respostas:

β = 1 - á r e a

Sendo assim:

Para a letra A ( μ = 98,7 ): β = 1 - á r e a = 1 - 0,5 = 0,5

Para a letra B ( μ = 98 , 4 ): β = 1 - á r e a = 1 - 0 , 498 5 = 0,5 015

E pronto! Acabamos! Simples, né?

Resposta

a. β = 0,5

b. β = 0,5 015

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