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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Estatística Aplicada Farber e Larson- Ed: 6º - Capítulo 4.2 - Ex. 17

Determinando probabilidades binomiais Nos exercícios de 15 a 22, determine as probabilidades indicadas. Se for conveniente, use ferramentas de tecnologia ou a Tabela B.2 do Apêndice B para encontrá-las.

17. Facilidade de votação Vinte e sete por cento dos prováveis eleitores americanos acham que é muito fácil votar nos Estados Unidos. Você seleciona aleatoriamente 12 prováveis eleitores americanos. Determine a probabilidade de que o número de prováveis eleitores que acham muito fácil votar nos Estados Unidos seja (a) exatamente três, (b) pelo menos quatro e (c) menos de oito. (Fonte: Rasmussen Reports.)

Passo 1

Fala galerinha boa, beleza? Questão sobre distribuição binomial.

Para resposta dessa questão, vamos lembrar que n é o tamanho amostral, p é a probabilidade de sucesso e q (1 – p) é a probabilidade de fracasso da distribuição binomial.

A fórmula da distribuição binomial é:

P X = x = C x n * p x * q n - x

E a fórmula da combinação C x n é:

C x n = n ! x ! n - x !

Passo 2

Primeiramente vamos definir os parâmetros do problema: n = 12; p = 0,27; q = 0,73.

Onde a variável aleatória x é: eleitores americanos que acham que é muito fácil votar nos Estados Unidos.

Passo 3

Na letra (a) queremos encontrar a probabilidade de exatamente 3 eleitores, ou seja:

P X = 3 = C 3 12 * 0,27 3 * 0,73 12 - 3

P X = 3 = 220 * 0,27 3 * 0,73 9

P X = 3 = 0,255

Passo 4

Na letra (b) queremos encontrar a probabilidade de pelo menos 4 eleitores, ou seja:

P X ≥ 4 = P X = 4 + P X = 5 + P X = 6 + P X = 7 + P X = 8 + P X = 9 + P X = 10 + P X = 11 + P X = 12

Como seriam muitos cálculos a serem feitos, podemos realizar outro procedimento com o mesmo resultado. Sabemos que a probabilidade total é igual a 1, então:

P X ≥ 4 = 1 - P X < 4

P X ≥ 4 = 1 - P ( X = 0 ) - P ( X = 1 ) - P ( X = 2 ) - P ( X = 3 )

P X ≥ 4 = 1 - C 0 12 * 0,27 0 * 0,73 12 - 0 - C 1 12 * 0,27 1 * 0,73 12 - 1 - C 2 12 * 0,27 2 * 0,73 12 - 2 - C 3 12 * 0,27 3 * 0,73 12 - 3

P X ≥ 4 = 1 - 0,023 - 0,102 - 0,207 - 0,255

P X ≥ 4 = 0,414

Passo 5

Na letra (c) queremos encontrar a probabilidade de menos que 8 eleitores, ou seja:

P X < 8 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + P X = 4 + P X = 5 + P X = 6 + P X = 7

Como seriam muitos cálculos a serem feitos, podemos realizar outro procedimento com o mesmo resultado. Sabemos que a probabilidade total é igual a 1, então:

P X < 8 = 1 - P X ≥ 8

P X < 8 = 1 - P X = 8 - P X = 9 - P X = 10 - P X = 11 - P X = 12

P X < 8 = 1 - C 8 12 * 0,27 8 * 0,73 12 - 8 - C 9 12 * 0,27 9 * 0,73 12 - 9 - C 10 12 * 0,27 10 * 0,73 12 - 10 - C 11 12 * 0,27 11 * 0,73 12 - 11 - C 12 12 * 0,27 12 * 0,73 12 - 12

P X < 8 = 1 - 0,004 - 0,001 - 0,000 - 0,000 - 0,000

P X < 8 = 0,995

E é isso galerinha. Até a próxima!

Resposta

Respostas das letras (a), (b) e (c) nos passos acima.