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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Estatística Aplicada Farber e Larson- Ed: 6º - Capítulo 4.2 - Ex. 22

Determinando probabilidades binomiais Nos exercícios de 15 a 22, determine as probabilidades indicadas. Se for conveniente, use ferramentas de tecnologia ou a Tabela B.2 do Apêndice B para encontrá-las.

22. Produtos orgânicos Quarenta e três por cento dos adultos pagaria mais por produtos orgânicos. Você seleciona aleatoriamente 12 adultos. Determine a probabilidade de que o número de adultos que pagaria mais por produtos orgânicos seja (a) exatamente quatro, (b) mais que quatro e (c) entre quatro e oito, inclusive. (Fonte: BrandSpark International/Better Homes and Gardens American Shopper Study.)

Passo 1

Fala galerinha boa, beleza? Questão sobre distribuição binomial.

Para resposta dessa questão, vamos lembrar que n é o tamanho amostral, p é a probabilidade de sucesso e q (1 – p) é a probabilidade de fracasso da distribuição binomial.

A fórmula da distribuição binomial é:

P X = x = C x n * p x * q n - x

E a fórmula da combinação C x n é:

C x n = n ! x ! n - x !

Passo 2

Primeiramente vamos definir os parâmetros do problema: n = 12; p = 0,43; q = 0,57.

Onde a variável aleatória x é: adultos pagaria mais por produtos orgânicos.

Passo 3

Na letra (a) queremos encontrar a probabilidade de exatamente 4 adultos, ou seja:

P X = 4 = C 4 1 2 * 0 , 43 4 * 0 , 57 1 2 - 4

P X = 4 = 4 9 5 * 0,43 4 * 0,57 8

P X = 4 = 0 , 189

Passo 4

Na letra (b) queremos encontrar a probabilidade de mais que 4 adultos, ou seja:

P X > 4 = P X = 5 + … + P X = 12

Como seriam muito cálculos, a opção é usar a teoria da probabilidade complementar, pois sabemos que a probabilidade total dos eventos é igual a 1. Então:

P X > 4 = 1 - P X ≤ 4

P X > 4 = 1 - P X = 0 - P X = 1 - P X = 2 - P X = 3 - P X = 4

P X > 4 = 1 - C 0 12 * 0,43 0 * 0,57 1 2 - 0 - C 1 12 * 0,43 1 * 0,57 12 - 1 - C 2 12 * 0,43 2 * 0,57 12 - 2 - C 3 12 * 0,43 3 * 0,57 12 - 3 - C 4 12 * 0,43 4 * 0,57 12 - 4

P X > 4 = 1 - 0 , 001 - 0 , 011 - 0 , 044 - 0,111 - 0,189

P X > 4 = 0,644

Passo 5

Na letra (c) queremos encontrar a probabilidade de entre 4 e 8 (inclusive) adultos, ou seja:

P 4 ≤ X ≤ 8 = P X = 4 + P X = 5 + P X = 6 + P X = 7 + P X = 8

P 4 ≤ X ≤ 8 = C 4 12 * 0,43 4 * 0,57 12 - 4 + C 5 12 * 0,43 5 * 0,57 12 - 5 + C 6 12 * 0,43 6 * 0,57 12 - 6 + C 7 12 * 0,43 7 * 0,57 12 - 7 + C 8 12 * 0,43 8 * 0,57 12 - 8

P 4 ≤ X ≤ 8 = 0 , 189 + 0 , 228 + 0 , 200 + 0 , 130 + 0,061

P 4 ≤ X ≤ 8 = 0 , 807

E é isso galerinha. Até a próxima!

Resposta

Respostas das letras (a), (b) e (c) nos passos acima.