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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Estatística Aplicada Farber e Larson- Ed: 6º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 53

Uma empresa tem seis executivos seniores homens e quatro executivos seniores mulheres. Quatro executivos seniores são selecionados aleatoriamente para comparecer a um seminário de tecnologia. Encontre a probabilidade de escolher: (a) Quatro homens. (b) Quatro mulheres. (c) Dois homens e duas mulheres. (d) Um homem e três mulheres.

Passo 1

Item a: 4 homens

Para que um homem seja selecionado inicialmente temos um total de 6 homens em um conjunto de 10 elementos, sendo a probabilidade 1 dada por:

p 1 = 6 10

Na escolha do segundo homem, teremos agora 5 homens em um conjunto de 9 elementos, sendo a probabilidade 2 dada por:

p 2 = 5 9

Seguindo o mesmo raciocínio teremos para a terceira escolha um total de 4 homens em um conjunto de 8 elementos, sendo:

p 3 = 4 8

E na última escolha, temos um total de 3 homens em um conjunto de 7 elementos, sendo:

p 4 = 3 7

Como a probabilidade dos eventos ocorrerem simultaneamente é dada pela multiplicação das probabilidades de eventos individuais, temos que a probabilidade de serem escolhidos 4 homens é dada por:

p = 6 10 ∙ 5 9 ∙ 4 8 ∙ 3 7 ≅ 0,071

Passo 2

Item b: 4 mulheres

Seguindo o mesmo raciocínio, teremos para a primeira escolha 4 mulheres em um conjunto de 10 indivíduos:

p 1 = 4 10

Na segunda escolha serão 3 mulheres e um total de 9 indivíduos:

p 2 = 3 9

Na terceira escolha serão 2 mulheres e um total de 8 indivíduos:

p 3 = 2 8

E na última escolha será 1 mulher em um total de 7 indivíduos:

p 4 = 1 7

Assim, a probabilidade pedida é dada por:

p = 4 10 ∙ 3 9 ∙ 2 8 ∙ 1 7 ≅ 0,005

Passo 3

Item c: 2 homens e 2 mulheres

Nesse item devemos pensar em combinações simples para a formação das comissões. Sendo escolhidos 2 homens em um total de 6, teremos um total de possibilidades igual a:

C 6 ,   2 = 6 ! 6 - 2 ! 2 ! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ! 4 ! ∙ 2 ∙ 1 = 30 2 = 15

Da mesma forma para a escolha de 2 mulheres em um total de 4:

C 4 ,   2 = 4 ! 4 - 2 ! 2 ! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ! 2 ! ∙ 2 ∙ 1 = 12 2 = 6

E a quantidade total de comissões que poderiam ser formadas é dada por:

C 10 , 4 = 10 ! 10 - 4 ! 4 ! = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ! 6 ! ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 4 ∙ 3 ∙ 2 = 10 ∙ 9 ∙ 7 3 = 210

A probabilidade é então calculada por:

p = C 6 ,   2 ∙ C 4 ,   2 C 10,4 = 15 ∙ 6 210 ≅ 0,429

Passo 4

Item d: 1 homem e 3 mulheres

Seguindo o mesmo raciocínio do item anterior, teremos para a escolha de 1 homem:

C 6 , 1 = 6 ! 6 - 1 ! 1 ! = 6 ∙ 5 ! 5 ! ∙ 1 = 6

E para a escolha de 3 mulheres:

C 4 , 3 = 4 ! 4 - 3 ! 3 ! = 4 ∙ 3 ! 1 ∙ 3 ! = 4

A probabilidade será dada por:

p = C 6 , 1 ∙ C 4 , 3 C 10,4 = 6 ∙ 4 210 ≅ 0,114

Resposta

Ver passo a passo.