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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 7.Exercícios Teóricos - Ex. 32

Para um evento A, considere I A = 1 se A ocorrer e I A = 0 caso contrário. Para uma variável aleatória X , mostre que

E X A = E X I A P A

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos usar indução de Lebesgue sobre variável aleatória X . Então, para o começo, suponha que X = I B para algum conjunto mensurável B . Nós temos que

E X A = E A I B = P A I B = 1 = P A ( B )

Com isso, nós temos

E X A = P A , B P A = E I B I A P A

Então a afirmação para tal variável aleatória é válida. Agora, suponha que X é a combinação linear finita de variáveis ​​aleatórias indicadoras, ou seja

X = ∑ j = 1 n α j I B j

Por causa da linearidade da expectativa condicional e o primeiro passo desta indução, temos que

E X A = E ∑ j = 1 n α j I B j A = ∑ j = 1 n α j E ( I B j | A )  

Com isso, nós temos que

E X A = ∑ j = 1 n α j E I B I A P A = 1 P A E ∑ j = 1 n α j I B j I A = E X I A P A  

Passo 2

Então a afirmação vale para todas as variáveis ​​aleatórias simples. Agora, pegue qualquer variável aleatória não negativa X . Podemos representar X como o limite do não negativo, das variáveis ​​aleatórias, ou seja,

lim n ⁡ X n = X

Nós temos que

E X A = E lim n ⁡ X n A =   lim n ⁡ E X n A

Com isso, temos que

E X A = lim n ⁡ E X n I A P A = E lim n ⁡ X n I A P A = E X I A P A

Então a alegação é válida. Agora, pegue qualquer variável aleatória X e escreva-a como X = X + - X - , onde X + = max ⁡ ( X , 0 ) e X - = max ⁡ ( - X , 0 ) . Estas variáveis randômicas são não negativas, então é verdade que

E X A = E X + - X - A = E X + A - E ( X - | A )

Com isso, nós temos que

E X A = E X + I A P A - E X - I A P A = E X + - X - I A P A = E X I A P A

Então nós provamos o que nos foi pedido! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)