Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 7.Exercícios Teóricos - Ex. 18

No Exemplo 4f, mostramos que a covariância das variáveis multinomiais N i   e N j é igual a - m P i P j , ao expressarmos N i e N j , como a soma de variáveis indicadoras. Também poderíamos ter obtido este resultado usando a fórmula

V a r N i + N j = V a r N i + V a r N j + 2 C o v ( N i , N j )

A - Qual é a distribuição de N i + N j

B - Use a identidade anterior para mostrar que C o v N i , N j = - m P i P j

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Observe que a variável aleatória N i + N j conta quantas tentativas tiveram resultado i ou j . A probabilidade de que uma única tentativa tenha resultado i ou j seja p i + p j . Por causa de independência de julgamentos, temos que

N i + N j   ~   B i n o m i a l ( m , p i + p j )

Passo 2

B - A identidade anterior nos rende o seguinte

C o v N i , N j = 1 2 V a r N i + N j - V a r N i - V a r N j  

Desde que

N i   ~   B i n m , p i ; N j   ~   B i n ( m , p j )

Nós temos que V a r N i = m p i ( 1 - p i ) e V a r N j = m p j 1 - p j , Também temos o conhecimento da letra a) que V a r N i + N j = m ( p i + p j ) ( 1 - p i - p j ) . Portanto,

C o v N i , N j = 1 2 V a r N i + N j - V a r N i - V a r N j

Desenvolvendo o termo, nós temos

C o v N i , N j = m 2 p i + p j 1 - p i - p j - p i 1 - p i - p j 1 - p j  

Fazendo uma simplificação, nós temos que

C o v N i , N j = m 2 - 2 p i p j =   - m p i p j

Então, provamos o que nos foi pedido!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)