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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 26

Expanda (x1 + 2x2 + 3x3)4

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos aplicar o teorema multinomial.

O Teorema Multinomial é dado pela expressão:

(x_1 + x_2 + ... + x_m)^n = sum_[[(n_1 , n_2 , ... , n_m)],[n_1,+,n_2,+,...,+,n_m,=,n],[n_1,,,n_2,,,,...,,,n_m,in,,N_0]] ([[n],[n_1,,,n_2,,,...,,,n_m]]) x_1^(n_1) x_2^(n_2) ... x_m^(n_m)

Essa equação nos diz que a n -ésima potencia de m termos será a soma dos produtos de x_i^(n_i) com valores não negativos dos inteiros (n_1 , n_2 , ... , n_m) . Aqui todos os produtos associados com o vetor (n_1 , n_2 , ... , n_m) significa que nós escolhemos x_i de n_i fatores do produto inicial que pode ser feito de ([[n],[n_1,,,n_2,,,...,,,n_m]]) formas diferentes.

Não entendeu toda essa teoria? Vamos ver na pratica como é mais simples!

Passo 2

Substituindo os valores do enunciado:

(x_1 + 2 x_2 + 3 x_3)^4 = sum_[[(n_1 , n_2 , n_3)],[n_1,+,n_2,+,n_3,=,4],[n_1,,,n_2,,,n_3,in,,N_0]] ([[4],[n_1,,,n_2,,,n_m]]) x_1^(n_1) (2 x_2^())^(n_2) (3 x_3^())^(n_3)

Vamos encontrar todos os vetores, ( n_1 , n_2 , n_3 ) tal que a soma de n_1 + n_2 + n_3 = 4 :

(0 , 0 , 4) (0 , 1 , 3) (0 , 2 , 2) (0 , 3 , 1) (0 , 4 , 0) (1 , 0 , 3) (1 , 1 , 2)

(1 , 2 , 1) (1 , 3 , 0) (2 , 0 , 2) (2 , 1 , 1) (2 , 2 , 0) (3 , 0 , 1) (3 , 1 , 0) (4 , 0 , 0)

Sabendo que este são todos os vetores vamos calcular cada um dos multinômios associados separadamente para a conta final ficar menor.

Passo 3

Calculando todos os multinômios:

([[4],[0,,,0,,,4]]) = ([[4],[0,,,4,,,0]]) = ([[4],[4,,,0,,,0]]) = (4 !)/(4 !) = 1

([[4],[0,,,3,,,1]]) = ([[4],[0,,,1,,,3]]) = ([[4],[3,,,1,,,0]]) = ([[4],[1,,,3,,,0]]) = ([[4],[1,,,0,,,3]]) = ([[4],[3,,,0,,,1]]) = (4 !)/(1 ! 3 !) = 4

([[4],[0,,,2,,,2]]) = ([[4],[2,,,0,,,2]]) = ([[4],[2,,,2,,,0]]) = (4 !)/(2 ! 2 !) = 6

([[4],[1,,,1,,,2]]) = ([[4],[2,,,1,,,1]]) = ([[4],[1,,,2,,,1]]) = (4 !)/(1 ! 2 ! 1 !) = 12

Passo 4

Substituindo estes valores no somatório:

(x_1 + 2 x_2 + 3 x_3)^4 = 1 (3 x_3^())^4 + 4 * 2 x_2 * (3 x_3)^3 + 6 * 4 x_2^2 * (3 x_3)^2 + 4 * 8 x_2^3 * 3 x_3 + 16 x_2^4 + 4 x_1 * 27 x_3^3 + 12 x_1 * 4 x_2^2 * 3 x_3 + 4 x_1 * 8 x_2^3 + 12 x_1^2 * 2 x_2 * 3 x_3 + 6 x_1^2 * 4 x_2^2 + 4 x_1^3 * 3 x_3 + 4 x_1^3 * 2 x_2 + x_1^4

Organizando os termos pelos expoentes e fazendo as somas e produtos:

= 81 x_3^4 + 216 x_2^() x_3^3 + 216 x_2^2 x_3^2 + 96 x_2^3 x_3 + 16 x_2^4 + 108 x_1 x_3^3 + 216 x_1 x_2 x_3^2 + 144 x_1 x_2^2 x_3 + 36 x_1 x_2^3 + 54 x_1^2 x_3^2 + 72 x_1^2 x_2 x_3 + 24 x_1^2 x_2^2 + 12 x_1^3 x_3 + 8 x_1^3 + x_1^4

Resposta

(x_1 + 2 x_2 + 3 x_3)^4 = 81 x_3^4 + 216 x_2^() x_3^3 + 216 x_2^2 x_3^2 + 96 x_2^3 x_3 + 16 x_2^4 + 108 x_1 x_3^3 + 216 x_1 x_2 x_3^2 + 144 x_1 x_2^2 x_3 + 36 x_1 x_2^3 + 54 x_1^2 x_3^2 + 72 x_1^2 x_2 x_3 + 24 x_1^2 x_2^2 + 12 x_1^3 x_3 + 8 x_1^3 + x_1^4