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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 26

Expanda (x1 + 2x2 + 3x3)4

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos aplicar o teorema multinomial.

O Teorema Multinomial é dado pela expressão:

x 1 + x 2 + … + x m n = ∑ n 1 , n 2 , … , n m n 1 + n 2 + … + n m = n n 1 , n 2 ,   … , n m ∈   N 0 n n 1 , n 2 , … , n m x 1 n 1 x 2 n 2 … x m n m    

Essa equação nos diz que a n -ésima potencia de m termos será a soma dos produtos de x i n i   com valores não negativos dos inteiros n 1 , n 2 , … , n m . Aqui todos os produtos associados com o vetor n 1 , n 2 , … , n m significa que nós escolhemos x i de n i fatores do produto inicial que pode ser feito de n n 1 , n 2 , … , n m formas diferentes.

Não entendeu toda essa teoria? Vamos ver na pratica como é mais simples!

Passo 2

Substituindo os valores do enunciado:

x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 4 = ∑ n 1 , n 2 , n 3 n 1 + n 2 + n 3 = 4 n 1 , n 2 , n 3 ∈   N 0 4 n 1 , n 2 , n m x 1 n 1 2 x 2   n 2 3 x 3   n 3    

Vamos encontrar todos os vetores, ( n 1 , n 2 , n 3 ) tal que a soma de n 1 + n 2 + n 3 = 4 :

0 ,   0 ,   4   0 ,   1 ,   3   0 ,   2 ,   2   0 ,   3 ,   1   0 ,   4 ,   0   1 ,   0 ,   3   1 ,   1 ,   2    

1 ,   2 ,   1   1 ,   3 ,   0   2 ,   0 ,   2   2 ,   1 ,   1   2 ,   2 ,   0   3 ,   0 ,   1   3 ,   1 ,   0   4 ,   0 ,   0

Sabendo que este são todos os vetores vamos calcular cada um dos multinômios associados separadamente para a conta final ficar menor.

Passo 3

Calculando todos os multinômios:

4 0 , 0 , 4 = 4 0 , 4 , 0 = 4 4 , 0 , 0 = 4 ! 4 ! = 1

4 0 , 3 , 1 = 4 0 , 1 , 3 = 4 3 , 1 , 0 = 4 1 , 3 , 0 = 4 1 , 0 , 3 = 4 3 , 0 , 1 = 4 ! 1 ! 3 ! = 4

4 0 , 2 , 2 = 4 2 , 0 , 2 = 4 2 , 2 , 0 = 4 ! 2 ! 2 ! = 6

4 1 , 1 , 2 = 4 2 , 1 , 1 = 4 1 , 2 , 1 = 4 ! 1 ! 2 ! 1 ! = 12

Passo 4

Substituindo estes valores no somatório:

x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 4 = 1 3 x 3   4 + 4 ⋅ 2 x 2 ⋅ 3 x 3 3 + 6 ⋅ 4 x 2 2 ⋅ 3 x 3 2 + 4 ⋅ 8 x 2 3 ⋅ 3 x 3 + 16 x 2 4     + 4 x 1 ⋅ 27 x 3 3 + 12 x 1 ⋅ 4 x 2 2 ⋅ 3 x 3 + 4 x 1 ⋅ 8 x 2 3 + 12 x 1 2 ⋅ 2 x 2 ⋅ 3 x 3 + 6 x 1 2 ⋅ 4 x 2 2 + 4 x 1 3 ⋅ 3 x 3 + 4 x 1 3 ⋅ 2 x 2 + x 1 4      

Organizando os termos pelos expoentes e fazendo as somas e produtos:

= 81 x 3 4 + 216 x 2   x 3 3 + 216 x 2 2 x 3 2 + 96 x 2 3 x 3 + 16 x 2 4 + 108 x 1 x 3 3 + 216 x 1 x 2 x 3 2 + 144 x 1 x 2 2 x 3 + 36 x 1 x 2 3 + 54 x 1 2 x 3 2 + 72 x 1 2 x 2 x 3 + 24 x 1 2 x 2 2 + 12 x 1 3 x 3 + 8 x 1 3 + x 1 4

Resposta

x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 4 = 81 x 3 4 + 216 x 2   x 3 3 + 216 x 2 2 x 3 2 + 96 x 2 3 x 3 + 16 x 2 4 + 108 x 1 x 3 3 + 216 x 1 x 2 x 3 2 + 144 x 1 x 2 2 x 3 + 36 x 1 x 2 3 + 54 x 1 2 x 3 2 + 72 x 1 2 x 2 x 3 + 24 x 1 2 x 2 2 + 12 x 1 3 x 3 + 8 x 1 3 + x 1 4