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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 32

Uma família tem j crianças com probabilidade p j , onde p 1 = 0,1, p 2 , = 0,25, p 3 , = 0,35, p 4 , = 0,3. Uma criança desta família é escolhida aleatoriamente. Dado que ela é a primogênita, determine a probabilidade condicional de que a família tenha:

(a) apenas 1 criança;

(b) 4 crianças.

Repita as letras (a) e (b) quando a criança selecionada aleatoriamente for a caçula.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos identificar os eventos, que são obviamente relacionadas as crianças, então, temos os seguintes eventos

E i - A   f a m í l i a   t e m   i   f i l h o s ,     i ∈ 1,2 , 3,4 , …

E - A   c r i a n ç a   e s c o l h i d a   é   a   m a i s   v e l h a  

Y - A   c r i a n ç a   e s c o l h i d a   é   a   m a i s   n o v a  

As probabilidades são dadas por

p i - P E i = p i ,     i = 1,2 , 3,4

Com isso, temos as seguintes relações

p 1 = 0,1   ,   p 2 = 0,25 ,   p 3 = 0,35   e   p 4 = 0,3

Se uma criança é escolhida aleatoriamente de uma família com i filhos, a probabilidade de escolher uma criança em particular (aqui, a mais velha ou a mais nova) é a mesma, isso é uma condição, portanto, temos probabilidades condicionais nesse ponto

P E E i = 1 i

E

P Y E i = 1 i

Nós temos que calcular as seguintes probabilidades: a) P ( E 1 | E ) b) P ( E 4 | E ) .

Passo 2

A - Os eventos são hipóteses competentes, ou seja, são eventos mutuamente exclusive, com isso, união são o próprio espaço amostral

A fórmula de Bayes nesta instância é dada por:

P E 1 E = P E E 1 ∙ P ( E 1 ) ∑ i = 1 4 P E E i ∙ P ( E i )

Agora é somente substituir para o caso do evento 1

P E 1 E = 1 ∙ 0,1 1 ∙ 0,1 + 1 2 ∙ 0,25 + 1 3 ∙ 0.35 + 1 4 ∙ 0,3 = 0,24

Passo 3

B – Nesse caso, a probabilidade é basicamente a mesma, só um pequeno termo no numerador

P E 4 E = 1 4 ∙ 0,3 1 ∙ 0,1 + 1 2 ∙ 0,25 + 1 3 ∙ 0,35 + 1 4 ∙ 0,4 = 0,18

Resposta

a )   P E 1 E = 0,24

b )   P E 4 E = 0,18

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