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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios Teóricos - Ex. 14

Uma família tem n filhos com probabilidade α p n , n ≥ 1 , onde α ≤ ( 1 - p ) / p .

  1. Que proporção de famílias não tem filhos?
  2. Se cada filho tem a mesma probabilidade de ser um menino ou uma menina (independentemente um do outro), que proporção de famílias é formada por k meninos (e qualquer número de meninas)?

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Antes de tudo, vamos destacar aqui as informações dadas no enunciado:

P N = n = α p n

n ≥ 1

α ≤ 1 - p p

Como ele pede a proporção de famílias que não tem filhos, ele quer P ( N = 0 ) , então:

P N = 0 = 1 - ∑ n = 1 ∞ α p n

Se a gente for colocar os valores possíveis para n, nós vamos achar:

1 - ∑ n = 1 ∞ α p n = 1 - ( α p 1 + α p 2 + α p 3 + … + α p n )

Vamos isolar α p e ver o que encontramos:

1 - α p 1 + α p 2 + α p 3 + … + α p n = 1 - α p 1 + p + p 2 + … + p n - 1

Aplicando na regra:

P N = 0 = 1 - α p 1 + p + p 2 + … + p n - 1

Com isso, podemos encontrar que:

P N = 0 = 1 - α p 1 1 - p

P N = 0 = 1 - α p 1 - p

Passo 2

Ok, agora vamos para a letra (b). Para isso, vamos usar:

P k   m e n i n o s = ∑ n = k ∞ ( 1 2 ) k ( 1 2 ) n - k α p n x n C k

Com isso:

P k   m e n i n o s = ∑ n = k ∞ ( 1 2 ) n α p n C k

Resposta

a )   P N = 0 = 1 - α p 1 - p

b ) ∑ n = k ∞ ( 1 2 ) n α p n C k