. Fator de correção finita - A fórmula para o desvio padrão da distribuição amostral das médias amostrais

σ x - = σ n

dada no teorema de limite central é baseada na suposição de que a população tem infinitos elementos. Este é o caso sempre que uma amostragem é feita com reposição (cada elemento é colocado de volta depois de selecionado), porque o processo de amostragem poderia ser continuado indefinidamente. A fórmula também é válida quando o tamanho da amostra é pequeno em comparação com o tamanho da população. Porém, quando a amostragem é feita sem reposição e o tamanho da amostra n é maior que 5% da população finita de tamanho N n N > 0,05 , um ajuste deve ser feito no desvio padrão. Utiliza-se então o fator de correção finita

N - n N - 1

A distribuição amostral das médias será normal, com uma média igual à média da população, e o desvio padrão dado por:

σ x - = σ n N - n N - 1

Nos exercícios 39 e 40, determine se o fator de correção finita deve ser usado. Caso seja, use-o em seus cálculos quando encontrar a probabilidade.

Old Faithful - Em uma população de 500 erupções do gêiser Old Faithful no Parque Nacional Yellowstone, a duração média das erupções era de 3,32 minutos e o desvio padrão, de 1,09 minuto. Uma amostra aleatória de tamanho 30 é selecionada dessa população. Qual é a probabilidade de que a duração média das erupções esteja entre 2,5 minutos e 4 minutos? (Adaptado de: Yellowstone National Park.)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A média amostral é normalmente distribuída com a média μ e o desvio padrão σ n N - n N - 1 (com o fator de correção finito). O valor de z-score é o valor x menos μ , tudo isso, dividido pelo desvio padrão

z = x - μ   σ n N - n N - 1

Fazendo a substituição dos termos, nós temos que

z = 2,5 - 3 , 32 5 00 - 30 5 00 - 1 ∙ 1 , 09 30 = - 4 , 25

E

z = 4 - 3,32 500 - 30 500 - 1 ∙ 1,09 30 = 3,52

E a probabilidade será encontrada usando a tabela, com isso

P 2,5 < X < 4 = P - 4,25 < Z < 3,25 = P Z < 3,25 - P Z < - 4,25

Fazendo a substituição, nós temos que

P 2,5 < X < 4 = 0,9994 - 0,0000 = 0,9994

Resposta

0,9994   o u   99,94   %