Um homem praticando tiro ao alvo recebe 10 pontos se o tiro estiver a 1 cm do alvo, 5 pontos se estiver entre 1 e 3 cm do alvo, e 3 pontos se estiver entre 3 e 5 cm do alvo. Determine o número esperado de pontos que ele receberá se a distância do ponto de tiro até o alvo for

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que a distância do tiro ao alvo é uniformemente distribuída em ( 0,10 ) . Seja a distância X (em centímetros) do tiro ao alvo, então a densidade de X é

f x = 1 10 ;     x ∈ ( 0,10 )

Vamos colocar uma função g ( x ) para denotar os pontos marcados quando a distância do tiro ao alvo é x centímetros. Então,

g x = 10 ,     0 < x < 1 5 ,     1 ≤ x < 3 3 ,     3 ≤ x < 5 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Passo 2

Para determinar o número esperado de pontos marcados, precisamos calcular a esperança de g ( x ) , com isso, nós temos

E g x = ∫ 0 10 g x f x   d x

Substituindo a função f ( x ) , nós temos

E g x = ∫ 0 10 g x 1 10     d x

Expandindo a integral para os intervalos definidos, nós temos que

E g x = 1 10 ∫ 0 1 10   d x + ∫ 1 3 5   d x + ∫ 3 5 3   d x + ∫ 5 10 0   d x

Substituindo os valores das integrais, nós obtemos o seguinte resultado

E g x = 10 1 - 0 + 5 3 - 1 + 3 5 - 3 + 0 = 1 10 26 = 2,6

Assim, o número esperado de pontos marcados é 2,6 .

Resposta

2,6