Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 29
Um modelo para o movimento de uma ação supõe que, se o preço atual da ação é s,então, após certo período, ele será us com probabilidade p ou ds com probabilidade 1-p. Supondo que movimentos sucessivos sejam independentes, obtenha uma aproximação para a probabilidade de que o preço da ação esteja em alta pelo menos 30% do tempo ao longo dos próximos 1000 períodos se u = 1,012, d = 0,990 e p = 0,52.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Vamos considerar o preço inicial da ação como . Vamos denotar como o número de períodos de aumento nos 1000 períodos de tempo, portanto
Assim, e o preço no final é
Para que os preços das ações subam pelo menos 30%, devemos ter o preço final como
Passo 2
Dado isso, nós temos que
Cortando o “s” dos termos, nós temos
Para encontrar de , temos que utilizar das propriedades de logaritmo
Assim, precisamos de pelo menos 470 períodos de aumento de 1000. Agora, precisamos calcular a probabilidade de os preços das ações subirem pelo menos 30%, ou seja,
Passo 3
Como é grande, aproximaremos a variável aleatória binomial à normal
variável aleatória com média e variância . Assim, fazendo uso da continuidade temos a seguinte probabilidade
Com isso, nós temos que
Com isso, e pela tabela, nós temos que
Assim, a probabilidade de que os preços das ações aumentem em pelo menos 30% no
próximos 1000 períodos é 0,9993.