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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas de Autoteste e Exercícios - Ex. 26

Uma moeda que dá cara com probabilidade p é jogada até que um total de n caras ou m coroas seja acumulado. Determine o número esperado de jogadas. Dica: Imagine que a pessoa continue a jogar a moeda mesmo após atingir o seu objetivo. Suponha que X represente o número de jogadas necessárias para que se obtenham n caras, e que Y represente o número de jogadas necessárias para que se obtenham m coroas. Note que m á x ( X ,   Y )   +   m í n ( X ,   Y )   =   X   +   Y . Compute E [ m á x ( X ,   Y ) ] condicionando no número de caras que aparecem nas primeiras n   +   m   -   1 jogadas.

Passo 1

Fala galeraaa!

Vamos que vamos!

Defina N como o número de caras nas primeiras jogadas n + m - 1 . Temos que N ∼ B i n o m ( n + m - 1 ,   p . Considere a variável aleatória m a x ( X ,   Y ) . Ela marca o número de lançamentos necessários para obter n cara e m coroa. Usando a lei da expectativa total, temos que:

E ( m a x ( X ,   Y ) ) = ∑ k = 0 n + m - 1 E ( m a x X ,   Y ∣ N = k )   P ( N = k )

Agora, vamos dividir essa soma em duas somas menores. Se k < n , isso significa que já temos m coroa nos primeiros lançamentos de n + m - 1 . Então, precisamos obter n - k caras restantes para atingir nosso objetivo.

Assim, etapas adicionais têm distribuição binomial negativa e, portanto, a quantidade esperada de etapas é igual a:

( n + m - 1 ) + n - k p

Se k ≥ n , significa que já coletamos n caras nos primeiros lançamentos de n + m - 1 e precisamos obter m - ( n + m - 1 - k ) caras restantes para cumprir nosso objetivo. Da mesma forma que o anterior, temos que o número esperado de passos neste caso é igual a:

( n + m - 1 ) + m - n + m - 1 - k 1 - p = ( n + m - 1 ) + k + 1 - n 1 - p

Finalmente, o número esperado de passos é igual a:

E m a x X ,   Y = n + m - 1 + ∑ k = 0 n - 1 n - k p   n + m - 1 k p k 1 - p n + m - 1 - k  

+ ∑ k = n n + m - 1 k + 1 - n 1 - p n + m - 1 k p k 1 - p n + m - 1 - k

Agora, o número esperado de lançamentos para obter n cara ou m coroa (que é m i n ( X ,   Y ) ) é igual a:

E ( m i n ( X ,   Y ) ) = E ( X + Y - m a x ( X ,   Y ) ) = n p + m 1 - p - E ( m a x ( X ,   Y ) )

Resposta

Calcule m a x ( X ,   Y ) usando a lei da expectativa total condicionando N , número de caras dentro de n +   m - 1 lançamentos. Em seguida, use a relação X + Y = m i n ( X ,   Y ) + m a x ( X ,   Y ) para obter o valor requerido.