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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 25

Mostre que o cálculo da fórmula para S Q B , na análise de variância do delineamento completamente aleatorizado em blocos, é equivalente ao termo correspondente na identidade do Teorema 13.13 .13.26 Para o delineamento completamente aleatorizado em blocos com k tratamentos e b blocos, mostre que

E ( S S B ) = ( b - 1 ) σ 2 + k ∑ j = 1 6   β j 2 .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

No delineamento de blocos casualizados, há k tratamentos e b blocos. O modelo matemático linear para delineamento de blocos casualizados é

y i j = μ + α i + β j + ϵ i j i = 1,2 , … . . k ; j = 1,2 , … . . b →  (1) 

Onde y i j é o rendimento da unidade de j th  bloco que recebe i th  tratamento. Consideramos

∑ i = 1 k     ∑ j = 1 b     y ‾ i . - y ‾ . .   = b ∑ i = 1 k     y ‾ i . - y ‾ . .   = b ∑ i = 1 k     y ‾ i . - b ∑ i = 1 k     y ‾ . .   = b k y ‾ . . - b k y ‾ . .   = 0 → ( 1 )

  Consideramos   ∑ j = 1 k     ∑ j = 1 b     y ‾ . j - y ‾ . .   = k ∑ j = 1 b     y ‾ . j - y ‾ . .   = k ∑ j = 1 b     y ‾ . j - k ∑ i = 1 k     y ‾ . .   = k b y ‾ . . - k b y ‾ . .   = 0 → ( 2 )

Passo 2

A soma total do quadrado é

  ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 b     y i j - y ‾ . . 2 = ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 b     y i j - y ‾ i . + y ‾ i . - y ‾ . j + y ‾ j j - y ‾ . . 2   = ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 b     y ‾ i . - y ‾ . . + y ‾ . j - y ‾ . . + y i j - y ‾ i . - y ‾ . j + y ‾ . . 2   = ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 b     y ‾ i . - y ‾ . . 2 + ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 b     y ‾ j - y ‾ . . 2 + ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 b     y i j - y ‾ i . - y ‾ j + y ‾ . . 2   + 2 ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 b     y ‾ i . - y ‾ . . y ‾ . j - y ‾ . . + 2 ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 b     y ‾ i . - y ‾ . . y i j - y ‾ i . - y ‾ . j + y ‾ . .   + 2 ∑ i = 1 k     ∑ j = 1 b     y ‾ . j - y ‾ . . y i j - y ‾ i . - y ‾ j + y ‾ . .

Passo 3

= b ∑ i = 1 k   y ‾ i . - y ‾ . . 2 + k ∑ j = 1 b   y ‾ . j - y ‾ . . 2 + ∑ i = 1 k   ∑ j = 1 b   y i j - y ‾ i . - y ‾ . j + y ‾ . . 2   + 2 ∑ i = 1 k   y ‾ i . - y ‾ . . ∑ j = 1 b   y ‾ . j - y ‾ . . + 2 ∑ i = 1 k   y ‾ i . - y ‾ . . ∑ j = 1 b   y i j - y ‾ i . - y ‾ . j + y ‾ . .   + 2 ∑ j = 1 b   y ‾ . j - y ‾ . . ∑ i = 1 k   y i j - y ‾ i . - y ‾ . j + y ‾ . . = b ∑ i = 1 k   y ‾ i . - y ‾ . . 2 + k ∑ j = 1 b   y ‾ . j - y ‾ . . 2 + ∑ i = 1 k   ∑ j = 1 b   y i j - y ‾ i . - y ‾ . j + y ‾ . . 2   + 2 ( 0 ) ( 0 ) + 2 ( 0 ) ∑ j = 1 b   y i j - y ‾ i . - y ‾ . j + y ‾ . . + 2 ( 0 ) ∑ i = 1 k   y i j - y ‾ i . - y ‾ . j + y ‾ . .     De  (1)  e   ( 2 ) = b ∑ i = 1 k   y ‾ i . - y ‾ . . 2 + k ∑ j = 1 b   y ‾ . j - y ‾ . . 2 + ∑ i = 1 k   ∑ j = 1 b   y i j - y ‾ i . - y ‾ . j + y ‾ . . 2 ∴   ∑ i = 1 k   ∑ j = 1 b   y i j - y ‾ . . 2 = b ∑ i = 1 k   y ‾ i . - y ‾ . . 2 + k ∑ j = 1 b   y ‾ . j - y ‾ . . 2 + ∑ i = 1 k   ∑ j = 1 b   y i j - y ‾ i . - y ‾ . j + y ‾ . . 2

Resposta

Resposta nos passos.