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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios Teóricos - Ex. 26

Mostre que, se n pessoas estão distribuídas aleatoriamente ao longo de uma estrada com extensão de L km, então a probabilidade de que 2 delas estejam a uma distância menor que D uma da outra é, quando D ≤ L / ( n - 1 ) ,   d e   1 - n - 1 D / L . E se D > L/(n - I)?

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Vamos destacar aqui as informações do enunciado:

f X , X 2 , X 3 … X n x 1 , x 2 , … x n = n ! L n     0 < x 1 < … < x n < L

Com isso:

P X i > X i - 1 + D , i = 2,3 , … n = ∭ X i > X i - 1 + D , i = 2,3 , … n … ∫ f X , X 2 , X 3 … X n x 1 , x 2 , … x n d x 1 … d x n

P X i > X i - 1 + D , i = 2,3 , … n = n ! L n ∫ 0 L - n - 1 D ∫ x 1 L - n - 2 D … ∫ x n - 1 + D L d x n … d x 1

Resolvendo, vamos encontrar que:

P X i > X i - 1 + D , i = 2,3 , … n = 1 - n - 1 D L n

Resposta

P X i > X i - 1 + D , i = 2,3 , … n = 1 - n - 1 D L n