Enunciado

A probabilidade de fechamento do i-ésimo relé nos circuitos mostrados na Figura 3.4 é p i , i = 1,2,3,4,5. Se todos os relés funcionam independentemente, qual é a probabilidade de que uma corrente flua entre A e B nos respectivos circuitos?

Dica para o circuito da letra (b): Condicione no fechamento ou não do relé 3

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós temos um circuito elétrico de A e B, com 5 interruptores independentes, então vamos primeiramente identificar os eventos

C i = O   e v e n t o   e m   q u e   o   i n t e r r u p t o r   é   f e c h a d o

A probabilidade é dada por

P C i = p i ,     i = 1,2 , 3,4 , 5

Nós temos que calcular a probabilidade de P ( E ) , ou seja, que a corrente flua

Passo 2

A - Vemos que a corrente flui pelas chaves 1,2,5 ou 3,4,5. A primeira linha usa a fórmula de inclusão e exclusão e a segunda independência, com isso, nós temos

P E = P ( C 1 C 2 C 5 ∪ C 3 C 4 C 5 )

Desenvolvendo o termo, nós obtemos o seguinte resultado

P E = P C 1 C 2 C 5 + P C 3 C 4 C 5 - P ( C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 )

Agora, usando o princípio multiplicativo

P E = P C 1 P C 2 P C 5 + P C 3 P C 4 P C 5 - P C 1 P C 2 P C 3 P C 4 P ( C 5 )

Substituindo os termos

P E = p 1 p 2 p 5 + p 3 p 4 p 5 - p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 = p 5 ( p 1 p 2 + p 3 p 4 - p 1 p 2 p 3 p 4 )

Passo 3

B - A corrente flui se 1 e 4 estiverem fechados ou 2 ou 5 estiverem fechados. Se a chave 3 estiver fechada, a corrente pode fluir também pelas chaves 1,3,5 ou 2,3,4

P E =   P ( C 1 C 4 ∪ C 2 C 5 ∪ C 3 C 1 C 5 ∪ C 3 C 2 C 4 )

Podemos fazer a seguinte manipulação

P E = P [ C 3 C ( C 1 C 4 ∪ C 2 C 5 ∪ C 3 ( C 1 C 4 ∪ C 2 C 5 ∪ C 1 C 5 ∪ C 2 C 4 ) ]

Pelo princípio multiplicativo, nós obtemos o seguinte resultado

P E = P C 3 C P C 1 C 4 ∪ C 2 C 5 + P C 3 P ( C 1 C 4 ∪ C 2 C 5 ∪ C 1 C 5 ∪ C 2 C 4 )

Expandindo e substituindo, nós temos o seguinte resultado

P E = p 1 p 4 + p 2 p 5 + p 3 p 1 p 5 + p 2 p 4 - ( p 1 p 2 p 3 p 4 + p 1 p 2 p 3 p 4 + p 1 p 2 p 4 p 5 + p 1 p 3 p 4 p 5 + p 2 p 3 p 4 p 5 + 2 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

Resposta

a )   P E = p 5 ( p 1 p 2 + p 3 p 4 - p 1 p 2 p 3 p 4 )

b )   P E = p 1 p 4 + p 2 p 5 + p 3 p 1 p 5 + p 2 p 4 - ( p 1 p 2 p 3 p 4 + p 1 p 2 p 3 p 4 + p 1 p 2 p 4 p 5 + p 1 p 3 p 4 p 5 + p 2 p 3 p 4 p 5 + 2 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5

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