Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 8
No problema anterior suponha que seja necessário um tempo aleatório, uniformemente distribuído em (0, 0,5), para que a lâmpada queimada seja substituída. Obtenha uma aproximação para a probabilidade de que todas as lâmpadas tenham queimado após 550 horas.
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin??
Vamos para mais um problema de Probabilidade.
Vamos assumir que as lâmpadas são usadas uma de cada vez até que a enésima falhe e vamos definir uma variável aleatória que indica o tempo, em horas, para repor a lâmpada.
Adotemos o tempo de vida como uma distribuição exponencial com parâmetro λ, então:
Do problema anterior temos que o tempo de vida médio é de 5 horas, logo o que nos leva a:
Por outro lado, o tempo de reposição é uma distribuição uniforme no intervalo (0, 0,5) então:
Passo 2
Façamos X indicar o tempo de vida total das 100 lâmpadas, ou seja:
E ainda A indicar o tempo total para repor 99 lâmpadas, logo:
Note que a probabilidade de todas as lâmpadas falharem no tempo de 550 horas é igual a:
Devido a independência de X, de A e entre X e A temos que:
e
Passo 3
Por fim, para calcularmos a probabilidade usemos o teorema do limite central:
Usando a tabela da curva distribuição normal para