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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas de Autoteste e Exercícios - Ex. 25

No problema do pareamento (Exemplo 5m no Capítulo 2), determine:

(a) o número esperado de pareamentos.

(b) a variância do número de pareamentos.

Passo 1

E aí galera, tudo blz?

Para deixar as coisas mais claras, eu vou enunciar aqui em baixo o problema citado:

Suponha que em uma festa de formatura estão presentes N formandos e que cada um atire seu chapéu para o alto do púlpito em que estão. Os chapéus são primeiramente misturados, e então cada estudante seleciona aleatoriamente um deles. Qual é a probabilidade de que nenhum dos estudantes selecione o seu próprio chapéu?

a) Seja X i = 1 se a pessoa i achar o seu chapéu, e X i = 0 se ela não achar. Então o número de pareamentos é:

X = ∑ i = 1 N X i

Passo 2

b) Para calcular a variância no número de parâmetros V a r ( x ) , usamos a equação:

E X 2 = ∑ i N E X i + ∑ i = 1 N ∑ i ≠ j E X i X j

Para i ≠ j :

E X i X j = X i = 1 , X j = 2 = P X i = 1 P X j = 1     X i = 1 ) = 1 N ⋅ 1 N - 1

Assim:

E X 2 = 1 + ∑ i = 1 N ∑ i ≠ j 1 N N - 1 = 1 + N N - 1 ⋅ 1 N N - 1 = 2

Finalmente,

V a r x = 2 - 1 2 = 1

Resposta

a) X = ∑ i = 1 N X i

b) V a r x = 1