Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 24

Prove que:

(1)/(n) underset(i)(sum) ((x_i - overset(-)(x))/(d p ( x ))) ((y_i - overset(-)(y))/(d p ( y ))) = (sum x_i y_i - n overset(-)(x) overset(-)(y))/(sqrt(( sum x_i^2 - n overset(-)(x)^2 ) ( sum y_i^2 - n overset(-)(y)^2 ))) .

Passo 1

Observe que se trata da fórmula da correlação entre X e Y :

C o r r (X , Y) = (1)/(n) xx underset(i)(sum) [((x_i - overset(-)(x))/(d p (x))) xx ((y_i - overset(-)(y))/(d p (y)))]

Aplicando a distributiva no numerador da segunda parte da equação, temos:

(x_i - overset(-)(x)) xx (y_i - overset(-)(y)) = x_i xx y_i - x_i xx overset(-)(y) + y_i xx overset(-)(x) + overset(-)(x xx y) .

Além disso, sabemos que:

d p (x) = sum_i (x_i^2)/(n) - overset(-)(x)^2

E

d p (y) = sum_i (y_i^2)/(n) - overset(-)(y)^2 .

Dessa forma,

C o r r (X , Y) = (1)/(n) xx underset(i)(sum) [((x_i - overset(-)(x))/(d p (x))) xx ((y_i - overset(-)(y))/(d p (y)))]

= (1)/(n) xx underset(i)(sum) [(x_i xx y_i - x_i xx overset(-)(y) + y_i xx overset(-)(x) + overset(-)(x xx y))/(sqrt((underset(i)(sum) x_i^2 - n xx overset(-)(x)^2) xx (underset(i)(sum) y_i^2 - n xx overset(-)(y)^2) // n))]

= (underset(i)(sum) x_i xx y_i - overset(-)(y) xx underset(i)(sum) x_i - overset(-)(x) xx underset(i)(sum) y_i + n xx overset(-)(x xx y))/(sqrt((underset(i)(sum) x_i^2 - n xx overset(-)(x)^2) xx (underset(i)(sum) y_i^2 - n xx overset(-)(y)^2)))

= (underset(i)(sum) x_i xx y_i - n xx overset(-)(x xx y))/(sqrt((underset(i)(sum) x_i^2 - n xx overset(-)(x)^2) xx (underset(i)(sum) y_i^2 - n xx overset(-)(y)^2)))

Resposta

Assim, concluímos a demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Raciocínio gráfico. Compare os três conjuntos de dados. (a) Sem calcular, determine qual conjunto de dados tem o maior desvio padrão amostral e qual tem o menor. Explique seu raciocínio.(b) De que man
Raciocínio gráfico. Encontre a amplitude do conjunto de dados representado pelo gráfico.
No Exercício 11, compare sua resposta na parte (a) com a resposta da parte (b). Como outliers afetam a amplitude de um conjunto de dados?
Raciocínio gráfico. Compare os três conjuntos de dados. (a) Sem calcular, determine qual conjunto de dados tem o maior desvio padrão amostral e qual tem o menor. Explique seu raciocínio.(b) De que man
Raciocínio gráfico. Encontre a amplitude do conjunto de dados representado pelo gráfico.Idade da noiva no primeiro casamento.