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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios Teóricos - Ex. 30

Na regra de sucessão de Laplace (Exemplo 5e), suponha que as n primeiras jogadas resultem em r caras e n - r coroas. Mostre que a probabilidade de que a (n + 1)-ésima jogada dê cara é (r + l)l(n + 2).

Para fazer isso, você terá que demonstrar e usar a identidade.

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos ver a sucessão de Laplace:

No exemplo 5e haviam os seguintes dados:

C i -A moeda com probabilidade i k de cair cara é escolhida, i = 0,1 , … , k

F n , m - As primeiras n + m jogadas de uma moeda escolhida saem n vezes cara e m vezes coroa.

A jogada numero H - n + m + 1 sai cara.

Passo 2

Fazendo a probabilidade condicional da moeda escolhida, teremos:

P H F n , m = ∑ i = 0 k P H C i F n , m P C i F n , m                                                               1

Sabendo que a moeda define a probabilidade de cair cabeça:

P H C i F n , m = P H C i = i k

Assim como no exemplo 5e vamos aplicar as formulas de probabilidade condicional:

P C i F n , m = n + m n i k n 1 - i k m ∑ j = 0 k n + m n j k n 1 - j k m  

Passo 3

Substituindo isto na formula 1:

P H F n , m = ∑ i = 0 k n + m n i k n 1 - i k m ∑ j = 0 k n + m n j k n 1 - j k m

Organizando o somatório:

P H F n , m = ∑ i = 0 k j k n 1 - j k m ∑ j = 0 k j k n 1 - j k m

Utilizando a aproximação:

1 k ∑ i = 0 k i k n 1 - i k m ≅ ∫ 0 1 x n 1 - x m d x = : C n , m

Expandindo o termo de cima:

P H F n , m = 1 k ∑ i = 0 k i k n 1 - i k m ≅ ∫ 0 1 x n + 1 1 - x m d x ∫ 0 1 x n 1 - x m d x = C n + 1 , m C n , m

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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