Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 85
Repita o Problema 3.84 quando cada um dos 3 jogadores selecionar bolas de sua própria urna. Isto é, suponha que existam 3 urnas diferentes com 12 bolas, cada uma contendo 4 bolas brancas.
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin??
Vamos para mais um problema de Probabilidade.
Seguindo o mesmo raciocínio do problema anterior, mas agora levando em conta que cada jogador possui sua urna, vamos registrar aqui algumas definições que serão usadas em ambas as partes deste problema.
Seja i o índice da tentativa em que uma bola é retirada. Dependendo do que acontecer durante o jogo A estará retirando nas tentativas i = 1, 4, 7, 10, ..., B estará retirando nas tentativas i = 2, 5, 8, 11, ... e C estará retirando das tentativas i = 3, 6, 9, 12,...
Seja o evento em que uma bola branca é selecionada no i-ésimo sorteio (por quem está sacando no momento). E ainda seja A o evento A tira a primeira bola branca e, portanto, vence. A mesma lógica para os eventos B e C.
(a) Neste caso as bolas são recolocadas e os jogadores, cada qual com sua urna, continuam tirando bolas até que haja um vencedor. Podemos calcular a probabilidade de A vencer condicionando ao resultado do primeiro conjunto de retiradas. Nós temos que:
De modo semelhante, teremos agora que P(B) depende de A não tirar a bola branca, assim:
Por fim, P(C) depende de A e B não retirarem a bola branca, logo:
Para confirmar a veracidade dos resultados basta notar que:
Passo 2
(b) Agora desejamos determinar as mesmas probabilidades, porém sem reposição, ou seja, a cada retirada a quantidade de bolas vai diminuindo e as chances de tirar uma bola branca ou não muda.
Primeiro, observe que cada retirada de A reduz o número de bolas não-brancas em um. Assim, podemos ter no máximo 8 retiradas não-brancas antes de obtermos uma bola branca, ou seja, o jogador A estará retirando nas tentativas i = 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22 e 25. Usando a mesma notação do Problema 84 temos que o evento que A vence de acordo com a seguinte probabilidade:
Manualmente é um processo muito longo determinar o valor desse somatório de produtórios, portanto podemos usar uma calculadora científica ou linguagem de programação para determinar o resultado. Obtemos então:
Para P(B) devemos considerar que o jogador B fará uma retirada a menos que A, uma vez que após a oitava retirada a vitória de A é certa. Assim, temos:
Usando o recurso computacional novamente, temos que:
Por fim, para não se prolongar demais, vamos usar o fato que as probabilidades de A, B e C são complementares para dizer que:
Resposta
(a)
(b)