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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 56

Se X e Y são variáveis aleatórias uniformes em (0, 1) independentes e identicamente distribuídas, calcule a densidade conjunta de:

(a) U = X + Y, V = X/Y;

(b) U = X, V = X/V;

(c) U= X+ Y,V= X/(X+ Y).

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Nós temos que a função de densidade é dada por:

f X , Y   ( x , y )   =   f X   ( x ) . f Y   ( y )   = 1  

(a) Aplicando a transformação g :   ( 0,1 ) ²   → R ² de modo que:

g ( x , y )   =   ( u , v )   =   x + y ,   x y

Usando o teorema sobre transformação de variáveis, temos que a função densidade do vetor aleatório (U,V) = g(X,Y) pode ser escrito como:

f U , V   ( u , v )   = f X , Y   ( x , y ) . d e t ( ∇ g ( x , y ) ) - 1

Vamos calcular ∇ g ( x , y ) , que é a matriz dada pelas derivadas de cada um dos componentes de g(x,y) em relação a cada uma das suas variáveis, ou seja:

d ( x + y ) d x = 1 d ( x + y ) d y = 1

d x y d x = 1 y d x y d y = - x y ²

Logo a matriz fica assim:

∇ g ( x , z ) = 1 1 1 y - x y ²

Calculando seu determinante, temos:

d e t ( ∇ g ( x , y ) )   =   x + y y ²  

Portanto,

f U , V   ( u , v )   = 1 . x + y y 2 - 1   =   y ² x + y

A única coisa que falta é escrevermos x e y em termos de u e v.

Temos que u = x+y e v =x/y

Assim, substituindo da função densidade, obtemos:

f U , V   ( u , v )   =   u ( v + 1 ) ²

Passo 2

(b) Aplicando a transformação g :   ( 0,1 ) ²   → R ² de modo que:

g ( x , y )   =   ( u , v )   =   x ,   x y

Usando o teorema sobre transformação de variáveis, temos que a função densidade do vetor aleatório (U,V) = g(X,Y) pode ser escrito como:

f U , V   ( u , v )   = f X , Y   ( x , y ) . d e t ( ∇ g ( x , y ) ) - 1

Vamos calcular ∇ g ( x , y ) , que é a matriz dada pelas derivadas de cada um dos componentes de g(x,y) em relação a cada uma das suas variáveis, ou seja:

d ( x ) d x = 1 d ( x ) d y = 0

d x y d x = 1 y d x y d y = - x y ²

Logo a matriz fica assim:

∇ g ( x , y ) = 1 0 1 y - x y ²

Calculando seu determinante, temos:

d e t ( ∇ g ( x , y ) )   =   x y ²  

Portanto,

f U , V   ( u , v )   = 1 . x y 2 - 1   =   y ² x

A única coisa que falta é escrevermos x e y em termos de u e v.

Temos que u = x e v =x/y

Assim, substituindo da função densidade, obtemos:

f U , V   ( u , v )   =   u v ²

Passo 3

(c) Aplicando a transformação g :   ( 0,1 ) ²   → R ² de modo que:

g ( x , y )   =   ( u , v )   =   x + y ,   x x + y

Usando o teorema sobre transformação de variáveis, temos que a função densidade do vetor aleatório (U,V) = g(X,Y) pode ser escrito como:

f U , V   ( u , v )   = f X , Y   ( x , y ) . d e t ( ∇ g ( x , y ) ) - 1

Vamos calcular ∇ g ( x , y ) , que é a matriz dada pelas derivadas de cada um dos componentes de g(x,y) em relação a cada uma das suas variáveis, ou seja:

d ( x + y ) d x = 1 d ( x + y ) d y = 1

d x x + y d x = y ( x + y ) ² d x x + y d y = - x ( x + y ) ²

Logo a matriz fica assim:

∇ g ( x , y ) = 1 1 y ( x + y ) ² - x ( x + y ) ²

Calculando seu determinante, temos:

d e t ( ∇ g ( x , y , z ) )   =   1 x + y  

Portanto,

f U , V   u , v = 1 . 1 x + y - 1   =   x + y

A única coisa que falta é escrevermos x e y em termos de u e v.

Assim, substituindo da função densidade, obtemos:

f U , V   ( u , v )   =   u

Resposta

a) f U , V   ( u , v )   =   u ² ( v + 1 ) ²

b) f U , V   ( u , v )   =   u v ²

c) f U , V   ( u , v )   =   u