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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 15

Seja X o espaço ocupado por um produto colocado em um recipiente de 1 pé cúbico. A fdp de X é.

f ( x ) = { 90 x 8 ( 1 - x )   0 < x < 1   0     c a s o   c o n t r á r i o    

a. Determine então a fdc de X

b. Qual é a P ( X ≤ 0,5 ) [isto é, F ( 0,5 ) ]?c. Usando o item (a), qual é P ( 0,25 < X ≤ 0,5 ) ? Qual é P ( 0,25 ≤ X ≤ 0,5 ) ?d. Qual é o 75 ∘ percentil da distribuição?e. Calcule E ( X ) e σ X -f. Qual é a probabilidade de X estar a mais de 1 desvio padrão em relação ao valor da média?

Passo 1

Determine então a fdc de X

a. F ( X ) = 0 para x ≤ 0 , = 1 para x ≥ 1 , e para 0 < X < 1

F ( X ) = ∫ - x π   f ( y ) d y = ∫ 0 x   90 y 8 ( 1 - y ) d y = 90 ∫ 0 π   y 8 - y 9 d y

90 1 y y 9 - 1 10 y 10 | 0 x = 10 x 9 - 9 x 10

Passo 2

Qual é a P ( X ≤ 0,5 ) [isto é, F ( 0,5 ) ]?

b. F ( . 5 ) = 10 ( . 5 ) 9 - 9 ( . 5 ) 10 ≈ 0107

Passo 3

c. Usando o item (a), qual é P ( 0,25 < X ≤ 0,5 ) ? Qual é P ( 0,25 ≤ X ≤ 0,5 ) P ( . 25 ≤ X ≤ . 5 ) = F ( . 5 ) - F ( . 25 ) = . 0107 - 10 ( . 25 ) 9 - 9 ( . 25 ) 10   ≈ . 0107 - . 0000 ≈ . 0107  

Passo 4

d. O 75 t h   percentual é o valor de x para o qual F(x)=.75

⇒ . 75 = 10 ( x ) 9 - 9 ( x ) 10 ⇒ x = . 9036

Passo 5

e. E ( X ) = ∫ - ∞ ∞   x ⋅ f ( x ) d x = ∫ 0 1   x ⋅ 90 x 8 ( 1 - x ) d x = 90 ∫ 0 1   x 9 ( 1 - x ) d x

= 9 x 10 - 90 11 x 11 ] 0 1 = 9 11 ≈ . 8182

E X 2 = ∫ - ∞ ∞   x 2 ⋅ f ( x ) d x = ∫ 0 1   x 2 ⋅ 90 x 8 ( 1 - x ) d x = 90 ∫ 0 1   x 10 ( 1 - x ) d x

= 90 1 1 x 11 - 90 12 x 12 ] 0 ≈ 6818

V ( X ) ≈ . 6818 - ( . 8182 ) 2 = . 0124 , σ x = . 11134

Passo 6

f. μ ± σ = ( . 7068 , . 9295 ) .   E n t ã o ,   P ( μ - σ ≤ X ≤ μ + σ ) = F ( . 9295 ) - F ( . 7068 )

= 8465 - 1602 = 6863

Resposta

a.   90 1 y y 9 - 1 10 y 10 | 0 x = 10 x 9 - 9 x 10

b. 0107

c. 0107

d. 9036

e. 11134

f. 6863