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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 24

Seja X com fdp de Pareto

f ( x ; k , θ ) = { k ⋅ θ k x k + 1   x ≥ θ   0   x < θ  

apresentado no Exercício 10

a. Se k > 1 , calcule E ( X ) .b. O que se pode dizer sobre E ( X ) se k = 1 ?c. Se k > 2 , mostre que V ( X ) = k θ 2 ( k - 1 ) - 2 ( k - 2 ) - 1 .d. Se k = 2 , o que pode ser dito sobre V ( X ) ?e. Que condições em k são necessárias para assegurar que E X ' ' seja finita?

Passo 1

Se k > 1 , calcule E ( X ) .

a. E ( X ) = ∫ 0 ∞   x ⋅ k θ k x k + 1 d x = k θ k ∫ 0 ∞   1 x k d x = k θ k x - k + 1 - k + 1 ] θ ∞ = k θ k - 1

Passo 2

O que se pode dizer sobre E ( X ) se k = 1

b. E ( X ) = ∞

Passo 3

Se k > 2 , mostre que V ( X ) = k θ 2 ( k - 1 ) - 2 ( k - 2 ) - 1

c. E X 2 = k θ k ∫ 0 ∞   1 x k - 1 d x = k θ 2 k - 2 ,   e n t ã o

V a r ⁡ ( X ) = k θ 2 k - 2 - k θ k - 1 2 = k θ 2 ( k - 2 ) ( k - 1 ) 2

Passo 4

Se k = 2 , o que pode ser dito sobre V ( X )

d . x   = ∞ , u m a   v e z   q u e ⁡ F X 2 = ∞

Passo 5

Que condições em k são necessárias para assegurar que E X ' ' seja finita

e. E X m = k θ k ∫ 0 ∞   x n - ( k + 1 ) d x ,   q u e   s e r á   i n f i n i t a   s e   n - ( k + 1 ) < - 1 ,   i . e .   i f   n < k .

Resposta

a. k θ k - 1

b. E ( X ) = ∞

c. k θ 2 ( k - 2 ) ( k - 1 ) 2

d. F X 2 = ∞

e. s e r á   i n f i n i t a   s e   n - ( k + 1 ) < - 1 ,   i . e .   i f   n < k .

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