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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 86

Seja S   = { 1,2   , . . . ,   n } e suponha que A e B tenham, independentemente, a mesma probabilidade de formar qualquer um dos 2 n subconjuntos (incluindo o conjunto vazio e o próprio espaço amostral S) de S.

Mostre que

P A   ⊂ B = 3 4 n

Dica: Suponha que N(B) represente o número de elementos em B. Use

P A   ⊂ B = ∑ i = 0 n P A   ⊂ B | N ( B ) = i P { N ( B ) = i }

Mostre que

P { A B = ∅ } = 3 4 n

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Primeiro observe que existem n i subconjuntos com i elementos. Há um total de 2 n subconjuntos de S. Assim,

P N B = i = n i 2 n

Para calcular P A   ⊂ B | N ( B ) = i note que originalmente o conjunto A pode ser qualquer um dos subconjuntos de 2 n de S. Como B tem i elementos para ter A   ⊂ B significa que todos os elementos de A devem, na verdade, também ser elementos de B (dos quais existem i). Assim A deve ser um dos 2 i subconjuntos de B então temos que:

P A   ⊂ B | N ( B ) = i = 2 i 2 n

Usando esses dois resultados temos agora que:

P A   ⊂ B = ∑ i = 0 n 2 i 2 n n i 2 n = 1 2 n 1 2 n ∑ i = 0 n n i . 2 i

P A   ⊂ B = 1 4 n 1 + 2 n =   1 4 n 3 n = 3 4 n

Como queríamos demonstrar.

Passo 2

Observe que A B = ∅ é equivalente à afirmação A   ⊂ B c . Como B c também é um subconjunto de S. Da demonstração do passo anterior temos então que:

P A B = ∅ = P A   ⊂ B c = 3 4 n

Resposta

Veja a demonstração.