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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios Teóricos - Ex. 13

Seja X uma variável aleatória binomial com parâmetros (n,p). Que valor de p maximiza P(X = k), k = 0, l ,..., n? Este é um exemplo de método estatístico usado para estimar p quando uma variável aleatória binomial (n,p) tem valor k. Se assumimos que n é conhecido, então estimamos p escolhendo o valor de p que maximiza P(X = k]. Este é conhecido como o método de estimação por máxima verossimilhança.

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Bom, para sabermos quando P ( x = k ) maximiza, precisamos primeiro calcular o log de P :

log ⁡ P ( X = k )

Pela definição, o valor vai ser:

log ⁡ P ( X = k ) = log ⁡ n k + k l o g p + n - k l o g ⁡ ( 1 - p )  

Ok, agora queremos descobrir o valor p que maximiza a nossa função. Para isso, como vamos fazer? Vamos encontrar a primeira derivada:

∂ log ⁡ P ( X = k ) ∂ p = k 1 p + ( n - k ) ( 1 1 - p ) ( - 1 )

∂ log ⁡ P ( X = k ) ∂ p = k p - n - k 1 - p

Como queremos saber quando maximiza, vamos começar encontrando o ponto crítico da nossa derivada:

k p - n - k 1 - p = 0

k p = n - k 1 - p

Multiplicando cruzado:

k - p k = p n - p k

k = p n

Isolando p:

p = k n

O que podemos concluir com isso galera? Que p quando for igual k n será um ponto crítico. Agora para acharmos se maximiza, vamos calcular a segunda derivada.

Passo 2

Bom, vamos calcular:

∂ log ⁡ P ( X = k ) ∂ p = k p - n - k 1 - p

∂ ² log ⁡ P ( X = k ) ∂ p ² = - k p 2 - n - k 1 - p 2 = - k p 2 + n - k 1 - p 2

Ok, calculada a segunda derivada. Agora, vamos pegar o valor de p que encontramos no passo 1 e substituir na segunda derivada:

p = k n

∂ ² log ⁡ P ( X = k ) ∂ p ² = - k p 2 + n - k 1 - p 2

∂ ² log ⁡ P ( X = k ) ∂ p ² = - k k n 2 + n - k 1 - k n 2

Fazendo as contas, vamos encontrar:

- k k n 2 + n - k 1 - k n 2 = - k n ² k ² + n - k n ² n - k 2

Como podemos ver, o valor vai ser sempre menor que zero, logo pela segunda derivada vai ser concavidade virada para baixo.

Com isso, podemos concluir que p = k n vai maximizar a função.

Resposta

p = k n