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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas de Autoteste e Exercícios - Ex. 14

Seja N uma variável aleatória geométrica com parâmetro p. Suponha que a distribuição condicional de X dado que N = n seja gama com parâmetros n e λ . Determine a função de probabilidade condicional de N dado que X = x.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nos é dado a seguinte informação

N   ~   G e o m p ,   X | N = n   ~   G a m m a ( n , λ )

Usando a fórmula Bayesiana, nós temos que

P N = n X = x = P N = n ,   X = x f X x

Com isso, podemos essa informação no seguinte fato

P N = n X = x = f X | N x n P N = n f X ( x )

Passo 2

Revisitando a teoria, nós temos a seguinte informação

f X | N x n = λ n Γ n x n - 1 e - λ x

E

P N = n = 1 - p n - 1 p

Então, a função de densidade dessa probabilidade condicional de N dado que X = x é proporcional a

λ n Γ n x n - 1 e - λ x 1 - p n - 1 p = p λ e - λ x x λ 1 - p n - 1 n - 1 !

O que é proporcional a distribuição de Poisson, uma vez que Z   ~   P o i s x λ 1 - p

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)