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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios Teóricos - Ex. 18

Seja X uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ. Que valor de λ maximiza P X = k ,   k ≥ 0 ?

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para resolvermos o nosso exercício, vamos precisar da fórmula que calcula a probabilidade:

P X = k = ln ⁡ e - λ λ k k !

Vamos fazer uns pequenos ajustes nela para ficar mais prático:

ln ⁡ e - λ λ k k ! = ln ⁡ ( e - λ ) + ln ⁡ ( λ k ) - ln ⁡ ( k ! )

ln ⁡ ( e - λ ) + ln ⁡ ( λ k ) - ln ⁡ k ! = - λ + k ln ⁡ ( λ ) - ln ⁡ ( k ! )

Como ele quer que a gente maximize a nossa função, vamos derivar ela e descobrir quando que ela vai maximizar pelos pontos críticos.

Passo 2

Show, vamos derivar:

P X = k = - λ + k ln ⁡ ( λ ) - ln ⁡ ( k ! )

∂ P X = k ∂ λ = - 1 + k λ

Ok, derivada a nossa função, vamos igualar a zero:

- 1 + k λ = 0

k λ = 1 → k = λ

Logo, a função vai maximizar quando k = λ .

Resposta

k = λ