Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 7.Exercícios Teóricos - Ex. 5

Sejam A 1 ,   A 2   , . . . ,   A n eventos arbitrários e defina C k = {ocorrem pelo menos k de A i ]. Mostre que

∑ k = 1 n P C k =   ∑ k = 1 n P ( A k )

Dica: Suponha que X represente o número de A i 's ocorridos. Mostre que ambos os lados da equação anterior são iguais a E[X].

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Vamos definir X como a variável aleatória que conta o número de eventos A i que ocorreram. Temos que:

P C k = P ( X ≥ k )

Então:

∑ k = 1 n P C k =   ∑ k = 1 n P X ≥ k =   ∑ k = 0 ∞ P X ≥ k = E ( X )

Agora vamos definir a variável aleatória B i para indicar quando o evento A i ocorre ou não. Assim:

X =   ∑ k = 1 n B k

Calculando o valor esperado, temos:

E X =   ∑ k = 1 n E B k = ∑ k = 1 n P B k = 1 =   ∑ k = 1 n P A k  

Logo, mostramos que:

E X =   ∑ k = 1 n P C k =   ∑ k = 1 n P ( A k )

Resposta

Veja a demonstração.