Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas de Autoteste e Exercícios - Ex. 13
Sorteiam-se bolas de uma urna que contém inicialmente 20 bolas vermelhas e 10 bolas azuis.
(a) Qual é a probabilidade de que todas as bolas vermelhas sejam retiradas antes de todas as azuis?
Agora suponha que a urna contenha inicialmente 20 bolas vermelhas, 10 bolas azuis e 8 bolas verdes.
(b) Agora, qual é a probabilidade de que todas as bolas vermelhas sejam retiradas antes das bolas azuis?
(c) Qual é a probabilidade de que as cores se esgotem na ordem azul, vermelho e verde?.
(d) Qual é a probabilidade de que o grupo de bolas azuis seja o primeiro dos três grupos a ser removido?
Passo 1
Opa galeeeeera! Hoje vamos tirar bolas de uma urna.
a) Temos 20 vermelhas ( ) e 10 azuis ( B ).
A probabilidade de que todas as bolas V sejam retiradas antes de retirarmos TODAS as B ocorre toda vez que a ultima bola seja B. E como a probabilidade de qualquer uma das bolas sair é igual teremos que esta é a probabilidade de retirar uma simples bola B.
Passo 2
b) Temos 20 bolas vermelhas ( R ) , 10 bolas azuis ( B ) e 8 bolas verdes (G).
Todas as ordens de retirada das bolas R e B tem a mesma probabilidade.
Sabendo disto há o mesmo numero de permutações para uma ordem fixa de bolas R e B.
E como o nosso evento só é relacionado a ordem de saída das bolas R e B as G são irrelevantes.
Logo esse exemplo é equivalente ao “a” e a resposta será a mesma pelo mesmo argumento:
Passo 3
c) Agora queremos saber a probabilidade se esgotar primeiro as bolas B e depois as R e depois as G em ordem.
A probabilidade da G ser a última a acabar é a probabilidade de ela ser a ultima a ser selecionada. Há 8 bolas G dentre 38 bolas no total:
Agora a probabilidade de que todas as bolas B sejam retiradas antes das R, será a mesma probabilidade do item B, ou seja:
Logo a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem será:
Passo 4
d) agora para as bolas B serem a primeira a ser removida há duas possibilidades,
Ou sai na ordem B G R ou na ordem B R G.
Por estes eventos serem disjuntos a probabilidade total será a soma das probabilidades.
A probabilidade de sair na ordem B R G foi calculada no último passo .
Pelo mesmo raciocínio do passo anterior a ordem R G B terá a probabilidade:
E a probabilidade final será:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)