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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios Teóricos - Ex. 17

Suponha que X i , i = 1,2,3 sejam variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson. Determine a sua função de probabilidade conjunta. Isto é, obtenha P[X = n, Y = m].

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos lá, desde que X e Y são somas independentes e são variáveis de Poisson, nós temos que

X   ~   P o i s λ 1 + λ 2 ,     Y   ~   P o i s ( λ 2 + λ 3 )

Nós temos que encontrar o que basicamente é P X = n ,   Y = m , com isso, sem a perda de generalidade, vamos supor que n ≤ m . Portanto, min ⁡ ( n , m ) = n . Vamos usar a probabilidade condicional para obter o seguinte resultado

P X = n ,   Y = m = ∑ k = 0 ∞ P X = n ,   Y = m X 2 = k P X 2 = k

Passo 2

Para resolver essa probabilidade condicional, temos de fazer algumas manipulações dentro do somatório, com isso, a primeira alteração será

P X = n ,   Y = m =   ∑ k = 0 ∞ P X 1 + X 2 = n ,   X 2 + X 3 = m X 2 = k P X 2 = k

Com isso, nós temos que

P X = n ,   Y = m =   ∑ k = 0 ∞ P X 1 = n - k ,   X 3 = m - k P X 2 = k

“Separando” as probabilidades, nós obtemos o seguinte resultado

P X = n ,   Y = m =   ∑ k = 0 ∞ P X 1 = n - k P X 3 = m - k P ( X 2 = k )

Passo 3

Já temos um padrão bem bonitinho para as probabilidades, agora vamos passar para a distribuição de Poisson

P X = n ,   Y = m =   ∑ k = 0 n λ 1 n - k n - k ! e - λ 1 ∙ λ 3 m - k m - k ! e - λ 3 ∙ λ 2 k k ! e - λ 2

Jogando a exponencial para fora da exponencial, nós temos que

  P X = n ,   Y = m = e - ( λ 1 + λ 2 + λ 3 ) ∑ k = 0 n λ 1 n - k n - k ! ∙ λ 3 m - k m - k ! ∙ λ 2 k k !

E obtemos a probabilidade 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)