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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 2

Suponha que 3 bolas sejam sorteadas sem reposição de uma urna consistindo em 5 bolas brancas e 8 bolas vermelhas. Considere X i = 1   caso a i-ésima bola selecionada seja branca e X i = 0 caso contrário. Dê a função de probabilidade conjunta de

(a) X 1 ,   X 2 ;

(b) X 1 , X 2 , X 3 .

Passo 1

E aí..... Tudo Beleza? Bora para o exercício =)

Nesse exercício queremos a função de probabilidade conjunta, isso é, a probabilidade associada a ambas as variáveis.

Na letra a , queremos a probabilidade associada a retirada da primeira bola e associada a segunda bola. Sendo que X 1 = 1 , se a primeira bola for branca, X 1 = 0 se for vermelha, e da mesma forma X 2 = 1 , se a segunda bola for branca e X 2 = 0 se for vermelha. Dessa forma, as nossas variáveis podem assumir:

X 1 , X 2 = 0,0 ,   1,0 ,   0,1 ,   1,1

O mesmo raciocínio segue para a letra b , onde teremos agora três variáveis, considerando as três retiradas.

Passo 2

Começando pela letra a , temos que a probabilidade de não se retirar nenhuma bola branca X 1 , X 2 = 0,0 , que é o mesmo que se retirar bola vermelha na primeira e na segunda é dada por:

8 13 × 7 12

Repara que não há reposição, por isso o espaço amostral vai diminuindo de 13 para 12 depois que retiramos uma bola.

Portanto:

P X 1 = 0 ,   X 2 = 0 = 56 156

Já a probabilidade de se retirar branca na primeira retirada e vermelha na segunda é dada por:

5 13 × 8 12

Portanto:

P X 1 = 1 ,   X 2 = 0 = 40 156

Continuando, a probabilidade de se retirar vermelha na primeira retirada e branca na segunda é dada por:

8 13 × 5 12 = 40 156

Por fim, a probabilidade de se retirar branca em todas as retiradas é:

5 13 × 4 12 = 20 156

Portanto, a função de probabilidade contínua é:

P X 1 , X 2 = 56 156   ,   X 1 = 0 ,   X 2 = 0 40 156   ,   X 1 = 1 ,   X 2 = 0 40 156 ,   X 1 = 0 ,   X 2 = 1 20 156 ,   X 1 = 1 ,   X 2 = 1

Passo 3

Para a letra b , consideramos agora três variáveis e portanto três retiradas, temos como espaço amostral:

X 1 ,   X 2 ,   X 3 = 0,0 , 0 ,   0,0 , 1 ,   0,1 , 0 , 1,0 , 0 , 0,1 , 1 1,0 , 1 , 1,1 , 0 ,   1,1 , 1

O que nos dá 8 possibilidades.

Mas calma, não precisa calcular elas todas. Você deve ter reparado na letra a , que a probabilidade de X 1 = 1 ,   X 2 = 0 é igual a probabilidade de X 1 = 0 , X 2 = 1 . Portanto, a ordem aqui nesse caso não importa.

Ou seja a probabilidade de termos ( 0,0 , 1 ) é igual de se ter ( 0,1 , 0 ) ou ( 1,0 , 0 ) . Podemos dizer a mesma coisa do trio 0 , 1,1 , 1,0 , 1 , 1,1 , 0 .

Começando por ( 0 , 0,0 ) , teremos a probabilidade de se retirar todas vermelhas.

8 13 × 7 12 × 6 11

Portanto:

P X 1 = 0 , X 2 = 0 , X 3 = 0 = 336 1716

Agora para ( 1 , 0,0 ) , isso é, retirar uma branca, e em seguida retirar vermelhas.

5 13 × 8 12 × 7 11

Portanto:

P X 1 = 1 , X 2 = 0 , X 3 = 0 = 280 1716

O que também é válido para 0 , 1,0 e 0,0 , 1 .

Agora para 1 , 1,0 que é retirar branca, depois branca e depois vermelha.

5 13 × 4 12 × 8 11

Portanto:

P X 1 = 1 , X 2 = 1 , X 3 = 0 = 160 1716

O que também é válido para ( 0 , 1,1 ) e 1,0 , 1 .

Por fim, a probabilidade para ( 1 , 1,1 ) que é retirar todas brancas.

5 13 × 4 12 × 3 11

Portanto:

P X 1 = 1 ,   X 2 = 1 ,   X 3 = 1 = 60 1716

Você pode fazer aqui a prova real e ver que a soma das probabilidade dá 1 = 100 %

Sendo assim, a função de probabilidade conjunta é:

P X 1 ,   X 2 ,   X 3 =   336 1716 ,   X 1 = 0 ,   X 2 = 0 ,   X 3 = 0 280 1716 ,   X 1 = 1 ,   X 2 = 0 ,   X 3 = 0   280 1716 ,   X 1 = 0 ,   X 2 = 1 ,   X 3 = 0 280 1716 ,   X 1 = 0 ,   X 2 = 0 ,   X 3 = 1 160 1716 ,   X 1 = 1 ,   X 2 = 1 ,   X 3 = 0 160 1716 ,   X 1 = 1 ,   X 2 = 0 ,   X 3 = 1 160 1716 ,   X 1 = 0 ,   X 2 = 1 ,   X 3 = 1 60 1716 ,   X 1 = 1 ,   X 2 = 2 ,   X 3 = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)