Enunciado

Suponha que X seja o menor valor obtido quando k números são escolhidos aleatoriamente do conjunto 1 , … ,   n . Determine E [ X ] ao interpretar X como uma variável aleatória hipergeométrica negativa.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Observe que X ≥ j , isso significa que não escolhemos nenhum de valor menor que j , ou seja,

todos os valores são maiores ou iguais a j . A probabilidade desse evento é

P X ≥ j = n - j + 1 k n k

Com isso, nós temos o seguinte resultado

P X ≥ j = n - k j - 1 n j - 1

Passo 2

Então, vemos que X tem a mesma distribuição que a variável aleatória no Exemplo 3e, mas aqui temos que o número total de bolas é igual a n   e o número de bolas especiais é igual a k . Portanto, temos que E ( X ) é igual a

E X = 1 + n - k k + 1 = n + 1 k + 1

Portanto, a média necessária é igual a n + 1 k + 1 .

Resposta

n + 1 k + 1