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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios Teóricos - Ex. 10

Suponha que X seja uma variável aleatória binomial com parâmetros n e p. Mostre que

E 1 X + 1   = 1 - 1 - p n + 1 n + 1 p

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Usando o teorema sobre a expectativa da função da variável aleatória, temos que

E 1 1 + X = ∑ k = 0 n 1 1 + k n k 1 - p n - k

Com isso, nós temos que

E 1 1 + X = ∑ k = 0 n 1 1 + k n ! k ! n - k ! p k 1 - p n - k =   ∑ k = 0 n n ! k + 1 ! n - k ! p k 1 - p n - k

Multiplicando esses termos na soma com (n+1) e p e obtendo que a expressão acima é igual a

1 ( n + 1 ) p ∑ k = 0 n n + 1 ! k + 1 ! n + 1 - k + 1 ! p k + 1 1 - p n + 1 - ( k + 1 )

Passo 2

Agora, vamos escrever essa expressão de um jeito um pouco diferente

1 n + 1 p ∑ k = 0 n n + 1 ! k ! n + 1 - k ! p k 1 - p n + 1 - k

Agora, considere a soma. É exatamente a probabilidade de que um binômio com parâmetros p e n+1 assuma todos os outros valores em vez de zero. Então, essa probabilidade é 1 - 1 - p n + 1 . Finalmente, nós temos que

E 1 1 + X = 1 n + 1 p ∙ 1 - 1 - p n + 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)