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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 7.Exercícios Teóricos - Ex. 55

Suponha que Y seja uma variável aleatória normal com média μ e variância σ 2 ,e também que a distribuição condicional de X dado Y = y seja normal com média y e variância 1

A - Mostre que a distribuição conjunta de X , Y é igual aquela de Y + Z, Y quando Z é uma variável aleatória normal padrão independente de Y.

B - Use o resultado da letra (a) para mostrar que X e Y possuem uma distribuição normal bivariada.

C - Determine E[X], Var(X) e Corr(X, Y)

D - Determine E[Y|X = x].

E - Qual é a distribuição condicional de Y dado que X = x?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Suponha que Y = y . Nesse caso temos que X | Y = y   ~   N ( y , 1 ) e Y + Z | Y = y = Y + Z   ~   N ( y , 1 ) . Portanto, dado Y = y , temos que X e Y + Z são igualmente distribuídos. Assim, temos que vetores aleatórios ( X , Y ) e ( Y + Z , Y ) , eles são igualmente distribuídos.

Passo 2

B - Observe que

Y + Z   ~   N ( μ , σ 2 + 1 )

desde Y e Z sejam independentes. Desde Y + Z e Y são normalmente distribuídos, temos esse vetor aleatório ( Y + Z , Y ) tem uma distribuição normal bivariada. Usando a parte (a), sabemos que ( X , Y ) também tem uma distribuição normal bivariada.

Passo 3

C - Usando a lei da esperança total, temos que

E X = E E X Y = E Y = μ

Já que usamos E X Y = Y , agora, usando a lei da variância total, temos o seguinte resultado

V a r X = E V a r X Y + V a r E X Y = 1 + V a r Y = 1 + σ 2

Agora, vamos encontrar a correlação entre X e Y . Nós temos que

E X Y = E E X Y Y = E Y E X Y = E ( Y 2 )

Com isso, nós temos que

E X Y = V a r Y + E Y 2 = σ 2 + μ 2

O que implica em

C o v X , Y = E X Y - E X E Y = σ 2 + μ 2 - μ 2 = σ 2

Então, finalmente, temos

C o r r X , Y = C o v X , Y V a r X V a r Y = σ 2 σ 2 + 1

Passo 4

D – Como ( X , Y ) é um vetor aleatório normal bivariado, temos que

Y | X = x   ~   N μ Y + σ y σ x ρ x - μ X ,   1 - ρ 2 σ Y 2

O que implica em

E Y X = x = μ Y + σ y σ x ρ x - μ X = μ + σ 2 1 + σ 2   ( x - μ )

E – É basicamente

μ Y + σ y σ x ρ x - μ X

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)