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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios Teóricos - Ex. 14

Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias geométricas com o mesmo parâmetro p.

A – Sem quaisquer cálculos, qual é para você o valor de

P X = i X + Y = n ?

Dica: Imagine que você joga continuamente uma moeda com probabilidade p de dar cara. Se a segunda cara ocorrer na n-ésima jogada, qual é a função de probabilidade do tempo da primeira cara?

B – Verifique sua conjectura da letra (a)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - É nos dado que na n-ésima tentativa obtivemos cara pela segunda vez. Isto

significa que sabemos que nas primeiras tentativas obtivemos coroas e uma é apenas uma cara. A única coisa que não sabemos é a hora da primeira cara. Mas, observe que qualquer arranjo de coroa e uma cara acontece com a mesma probabilidade - não há razão para preferir um em vez de outro. Assim, nossa intuição diz que

P X = i X + Y = n = 1 n - 1

Passo 2

B – Vamos observar que a variável aleatória X + Y é uma binomial negativa com parâmetro de sucesso p e nós paramos quando obtemos dois ‘sucessos’, com isso, nós obtemos

P X = i X + Y = n = P X = i ,   X + Y = n P X + Y = n

Substituindo os valores, temos

P X = i X + Y = n = 1 - p i - 1 p ∙ 1 - p n - i - 1 p n - 1 p 2 1 - p n - 2

Logo, temos o seguinte resultado

P X = i X + Y = n = 1 n - 1

Então, nós provamos nossa conjectura 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)