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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 7.Exercícios Teóricos - Ex. 29

Suponha que X 1 , … , X n sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas. Determine

E [ X 1 | X 1 + … + X n = x ]

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiro de tudo, nós observamos que

E X 1 + … + X n X 1 + … + X n = x = x

E como todas as variáveis ​​estão igualmente distribuídas, temos a simetria

E X j X 1 + … + X n = x = E ( X 1 | X 1 + … + X n = x )

Para todo j = 1 , … , n . Usando a linearidade da esperança condicional, nós temos que

x = E ( X 1 + … + X n | X 1 + … + X n = x )

Passo 2

Podemos utilizar a notação de somatório

x =   ∑ j E X j X 1 + … + X n = x

Desenvolvendo os termos, nós temos que

x = n E ( X 1 | X 1 + … + X n = x )

O que implica em

E X 1 X 1 + … + X n = x = x n

Resposta

E X 1 X 1 + … + X n = x = x n