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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios Teóricos - Ex. 35

Suponha que X 1 , … , X n sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com função distribuição F e densidade f. A grandeza M = X ( t ) + X n / 2 , definida como a média do menor e do maior valor em X 1 , … , X n , é chamada de alcance central da sequência. Mostre que sua função distribuição é

F M m = n ∫ - ∞ m F 2 m - x - F x n - 1 f x d x

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Vamos considerar que M é a grandeza e é definida como:

M = X 1 + X 2 2

Portanto,

P M ≤ a = P X n + X 1 2 ≤ a

P M ≤ a = ∬ X n + X 1 2 ≤ a f X 1 X n x 1 x n d x 1 d x n

Se aplicarmos a equação (6.6):

f X i X j x i , x j = n ! i - 1 ! j - i - 1 ! n - j ! F x i i - 1 F x j - F x i j - i - 1

f X i X j x i , x j = 1 - F x j n - j f x j f x i ∀ x i < x j

Portanto,

∫ - ∞ ∞ ∫ x 1 2 a - x 1 n ! n - 2 ! F x n - F ( x 1 ) n - 2 f ( x 1 ) f ( x n ) d x n d x 1

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o